[论文解读] Poincaré Analysis for Hybrid Periodic Orbits of Systems with Impulse Effects under External Inputs.

Sushant Veer, Rakesh Rakesh+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Robotic Locomotion and Control参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文建立了具有脉冲效应的混合系统中周期轨道的输入-状态稳定性（ISS）与相应强迫Poincaré映射中不动点的ISS之间的严格等价性。通过引入强迫Poincaré映射并基于较弱的输入假设推导出ISS估计，作者将经典Poincaré分析扩展至轨道ISS，恢复了指数稳定性等价性，并为极限环机器人等系统提供了鲁棒控制设计方法。

ABSTRACT

In this paper we investigate the relation between robustness of periodic orbits exhibited by systems with impulse effects and robustness of their corresponding Poincar\'e maps. In particular, we prove that input-to-state stability (ISS) of a periodic orbit under external excitation in both continuous and discrete time is equivalent to ISS of the corresponding 0-input fixed point of the associated \emph{forced} Poincar\'e map. This result extends the classical Poincar\'e analysis for asymptotic stability of periodic solutions to establish orbital input-to-state stability of such solutions under external excitation. In our proof, we define the forced Poincar\'e map, and use it to construct ISS estimates for the periodic orbit in terms of ISS estimates of this map under mild assumptions on the input signals. As a consequence of the availability of these estimates, the equivalence between exponential stability (ES) of the fixed point of the 0-input (unforced) Poincar\'e map and ES of the corresponding orbit is recovered. The results can naturally be applied to continuous-time systems as well. Although our motivation for extending classical Poincar\'e analysis to address ISS stems from the need to design robust controllers for limit-cycle walking and running robots, the results are applicable to a much broader class of systems that exhibit periodic solutions.

研究动机与目标

• 建立具有脉冲效应的混合系统中周期轨道的鲁棒性与外部输入下其对应Poincaré映射稳定性的理论联系。
• 将此前仅限于渐近稳定性的经典Poincaré分析，扩展至在外部激励下周期解的输入-状态稳定（ISS）分析。
• 基于强迫Poincaré映射构建一个框架，使能根据映射不动点的ISS特性推导周期轨道的ISS估计。
• 在ISS框架内恢复0输入Poincaré映射不动点的指数稳定性与对应周期轨道指数稳定性的等价性。
• 提供一种可推广的方法，适用于连续时间系统及更广泛的周期解系统，尤其适用于双足步行中的鲁棒控制。

提出的方法

• 作者定义了一种新的数学构造——'强迫Poincaré映射'，用于描述在外部输入作用下，系统状态在连续脉冲时刻的演化。
• 通过利用强迫Poincaré映射的ISS特性，在输入信号满足较弱正则性条件的假设下，推导出周期轨道的ISS估计。
• 证明在对输入信号施加较弱假设的条件下，周期轨道的ISS与强迫Poincaré映射的0输入不动点的ISS之间存在等价性。
• 该方法依赖于构造一个坐标变换，将周期轨道映射为Poincaré映射框架下的不动点，从而可借助标准不动点技术进行稳定性分析。
• 通过将离散动力学嵌入连续流背景中，表明该方法可自然推广至连续时间系统。
• 该框架可通过分析线性化强迫Poincaré映射的谱性质，实现对指数稳定性等价性的恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有脉冲效应的混合系统中周期轨道的输入-状态稳定性（ISS）是否与强迫Poincaré映射中对应不动点的ISS等价？
• RQ2 经典Poincaré分析能否被扩展以表征外部激励下的轨道ISS？
• RQ3 在何种条件下，周期轨道的ISS估计可由强迫Poincaré映射的ISS估计导出？
• RQ4 强迫Poincaré映射框架如何实现0输入映射与周期轨道之间指数稳定性的等价性恢复？
• RQ5 该框架在多大程度上适用于连续时间系统及更广泛的周期系统类别？

主要发现

• 在外部激励下，周期轨道的输入-状态稳定性（ISS）与强迫Poincaré映射中对应0输入不动点的ISS等价。
• 在较弱输入假设下，强迫Poincaré映射可基于其不动点的ISS特性，推导出周期轨道的ISS估计。
• 在ISS框架内，恢复了0输入Poincaré映射不动点的指数稳定性与对应周期轨道指数稳定性的等价性。
• 通过将离散动力学嵌入连续流结构中，该方法可适用于连续时间系统。
• 该框架为设计具有周期解的系统（如极限环行走机器人）的控制器提供了稳健的分析基础。
• 该结果不仅适用于双足步行，还可推广至更广泛的具有脉冲效应的周期行为系统。