[论文解读] Poincar\\'e, modified logarithmic Sobolev and isoperimetric inequalities for Markov chains with non-negative Ricci curvature

Matthias Erbar, Max Fathi|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文在有限马尔可夫链的非负熵 Ricci 曲率条件下，建立了经典黎曼几何不等式（Poincaré、修正对数 Sobolev 及等周不等式）的离散类比。通过使用一种 Wasserstein 类型的传输距离 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$，证明了谱隙、Cheeger 常数和修正对数 Sobolev 常数均被仅依赖于状态空间直径 $D$ 的常数从下方有界，将 Li-Yau、Buser 和 Wang 的结果推广至具有非正曲率下界的离散情形。

ABSTRACT

We study functional inequalities for Markov chains on discrete spaces with entropic Ricci curvature bounded from below. Our main results are that when curvature is non-negative, but not necessarily positive, the spectral gap, the Cheeger isoperimetric constant and the modified logarithmic Sobolev constant of the chain can be bounded from below by a constant that only depends on the diameter of the space, with respect to a suitable metric. These estimates are discrete analogues of classical results of Riemannian geometry obtained by Li and Yau, Buser and Wang.

研究动机与目标

• 将经典泛函不等式从黎曼几何推广至非负熵 Ricci 曲率条件下的离散马尔可夫链。
• 为这类链建立谱隙、Cheeger 常数和修正对数 Sobolev 常数的定量下界。
• 表明这些下界仅依赖于状态空间在 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$-距离下的直径 $D$，而不依赖于维度或其他结构细节。
• 弥合连续曲率几何分析与离散概率模型之间的鸿沟，尤其针对零距过程和图上的随机游走。

提出的方法

• 作者在概率测度上定义了一种离散传输距离 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$，其在状态空间 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$ 上诱导出一种度量 $d_{ frac{1}{2} frac{1}{2}}$，替代了 Lott-Sturm-Villani 理论中使用的 $L^2$-Wasserstein 距离。
• 他们采用 [29, 13] 中的熵 Ricci 曲率概念，该概念涉及熵沿 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$-测地线的凸性，并通过 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$-微分法框架定义曲率下界。
• 关键技术工具是熵沿 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$-测地线的凸性不等式：$ frac{1}{2} frac{1}{2}$，该不等式将曲率与距离联系起来。
• 他们通过一种离散的 Bonnet-Myers 定理推导出直径界：若 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$，则 $d_{ frac{1}{2} frac{1}{2}}(x,y) \leq 2\sqrt{(-\log \pi(x) - \log \pi(y))/\kappa}$，从而以 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$ 表示直径控制。
• 对于主要结果，他们应用三角不等式和提升技术，对仅在一个粒子上不同的配置 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$，将其简化为速率 $1/L$ 的完全图情形，并利用已知的混合时间估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非负熵 Ricci 曲率条件下，是否可为离散马尔可夫链建立如 Poincaré、修正对数 Sobolev 及等周不等式等泛函不等式？
• RQ2 在 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$-度量下，谱隙与修正对数 Sobolev 常数对状态空间直径 $D$ 的依赖关系如何？
• RQ3 这些离散不等式与连续黎曼情形下的对应不等式（如 Li-Yau、Buser、Wang）在紧致性和渐近行为方面有何比较？
• RQ4 即使在高维或非均匀情形下，是否能通过曲率和平稳测度对 $d_{ frac{1}{2} frac{1}{2}}$ 下的状态空间直径进行上界控制？
• RQ5 对于粒子密度固定的零距过程，其修正对数 Sobolev 常数的渐近行为如何？

主要发现

• Cheeger 常数 $h$ 满足 $h \geq \frac{1}{3}\sqrt{Q_* \lambda_1}$，其中 $Q_*$ 为最小转移率，建立了 Buser 不等式的离散类比。
• 在非负熵 Ricci 曲率及 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$-度量下的直径 $D$ 条件下，谱隙满足 $\lambda_1 \geq \frac{c}{D^2}$，$c$ 为通用常数，推广了 Li-Yau 的结果。
• 修正对数 Sobolev 常数的下界为 $\frac{c'}{D^2}$，$c'$ 为另一通用常数，将 Wang 的不等式推广至离散情形。
• 对于 $L$ 个站点上 $K$ 个粒子的零距过程，$ frac{1}{2} frac{1}{2}$-度量下的直径有界于 $cK\sqrt{L\log L}$，意味着在固定密度 $K/L$ 下，mLSI 常数的行为类似于 $1/(K^2 L \log L)$，提示其具有 $1/L^2$ 的标度。
• 存在一个离散的 Bonnet-Myers 定理：若 $ frac{1}{2} frac{1}{2}$，则 $d_{ frac{1}{2} frac{1}{2}}(x,y) \leq 2\sqrt{(-\log \pi(x) - \log \pi(y))/\kappa}$，且直径有界于 $2\sqrt{-2\log \pi_* / \kappa}$。