[论文解读] Poincaré Sobolev equations in the Hyperbolic space

Mousomi Bhakta, K. Sandeep|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文研究了在双曲空间 $\mathbb{B}^N$ 上的 Poincaré-Sobolev 方程 $-\Delta_{\mathbb{B}^N}u - \lambda u = |u|^{p-1}u$ 的径向变号解，建立了先验估计、Palais-Smale 条件刻画以及存在性与非存在性结果。通过将解等距嵌入双曲设定，利用紧致性与变分方法，在最优参数范围内证明了 Hardy-Sobolev-Mazya 方程与临界 Grushin 方程变号解的存在性。

ABSTRACT

We study the a priori estimates,existence/nonexistence of radial sign changing solution, and the Palais-Smale characterisation of the problem $-\De_{\Bn}u - \la u = |u|^{p-1}u, u\in H^1(\Bn)$ in the hyperbolic space $\Bn$ where $1

研究动机与目标

• 分析双曲空间 $\mathbb{B}^N$ 中方程 $-\Delta_{\mathbb{B}^N}u - \lambda u = |u|^{p-1}u$ 的先验估计与 Palais-Smale 条件。
• 在约束 $1 < p \leq \frac{N+2}{N-2}$ 与 $\lambda < \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ 下，建立径向变号解的存在性与非存在性结果。
• 通过双曲 Poincaré-Sobolev 问题与等距变换，将结果推广至 Hardy-Sobolev-Mazya 方程与临界 Grushin 方程。
• 在 $\mathbb{B}^N$ 上变号解的背景下，刻画 Palais-Smale 序列的紧致性性质。

提出的方法

• 在单位球模型上使用双曲拉普拉斯-贝尔特拉米算子 $\Delta_{\mathbb{B}^N}$，其度量为 $g_{ij} = \left(\frac{2}{1-|x|^2}\right)^2 \delta_{ij}$。
• 通过 Möbius 变换 $\tau_b$ 实现等距嵌入，将 $\mathbb{B}^N$ 上的解与欧氏空间中 Grushin 与 Hardy-Sobolev-Mazya 方程的解联系起来。
• 应用 Poincaré-Sobolev 不等式 $S_{N,p,\lambda} \left(\int_{{\mathbb{B}}^{N}}|u|^{p}dV_{{\mathbb{B}}^{N}}\right)^{\frac{2}{p}} \leq \int_{{\mathbb{B}}^{N}}\left[|\nabla_{{\mathbb{B}}^{N}}u|^{2}-\frac{(N-1)^2}{4}u^2\right]dV_{{\mathbb{B}}^{N}}$ 控制范数并确保紧致性。
• 通过能量泛函 $I_\lambda(u) = \frac{1}{2}\int \left[|\nabla_{{\mathbb{B}}^{N}}u|^2 - \lambda u^2\right]dV_{{\mathbb{B}}^{N}} - \frac{1}{p+1}\int |u|^{p+1}dV_{{\mathbb{B}}^{N}}$ 分析 Palais-Smale 序列。
• 利用 $\mathbb{B}^N$ 的反射与等距群，包括 Möbius 变换 $\tau_b = \sigma_{b^*} \circ \rho_{b^*}$，构造解并分析对称性。
• 应用变换 $\Phi(r,z) = r^{\frac{Q-2}{2(1+\alpha)}} \varphi(r^{\frac{1}{1+\alpha}}, z)$ 将 Grushin 型方程与具有 $N = h+1$、$\lambda = \frac{1}{4}\left[h^2 - \left(\frac{k-2}{\alpha+1}\right)^2\right]$ 与 $p = \frac{Q+2}{Q-2}$ 的双曲问题联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双曲空间 $\mathbb{B}^N$ 上的 Poincaré-Sobolev 方程允许存在径向变号解？
• RQ2 Palais-Smale 序列的紧致性性质如何影响亚临界与临界情形下解的存在性？
• RQ3 等距嵌入在连接双曲 Poincaré-Sobolev 问题与 Hardy-Sobolev-Mazya 方程及 Grushin 方程中起什么作用？
• RQ4 何时需要将假设 $u \in H^1_0(\mathbb{B}^N)$ 替换为 $u \in \mathcal{H}$，这对解的存在性有何影响？
• RQ5 在 $\lambda = \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ 时，变号解存在的精确参数范围是什么？

主要发现

• 本文证明了当 $1 < p < \frac{N+2}{N-2}$ 且 $\lambda < \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ 时，双曲空间 $\mathbb{B}^N$ 上 Poincaré-Sobolev 方程存在变号解，扩展了已知的正解结果。
• 在临界情形 $p = \frac{N+2}{N-2}$ 时，当 $\frac{N(N-2)}{4} < \lambda < \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ 且 $N \geq 4$ 时，变号解的存在性得以确立。
• 当 $\lambda = \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ 时，空间 $H^1_0(\mathbb{B}^N)$ 必须替换为 $\mathcal{H}$，即 $C_c^\infty(\mathbb{B}^N)$ 在范数 $\left(\int \left[|\nabla u|^2 - \frac{(N-1)^2}{4}u^2\right] dV_{\mathbb{B}^N}\right)^{1/2}$ 下的完备化。
• 作者证明了在适当条件下，能量泛函 $I_\lambda$ 的 Palais-Smale 序列是预紧的，从而通过变分方法确保临界点的存在性。
• 通过变换 $v = w \circ M$（其中 $M$ 是 $\mathbb{B}^N$ 与上半空间模型之间的等距映射），推导出 Hardy-Sobolev-Mazya 方程变号解的存在性。
• 对于临界 Grushin 方程，本文表明当 $p = \frac{Q+2}{Q-2}$ 且 $Q = k + h(1+\alpha)$ 时，解存在，且对应的双曲问题满足 $\lambda = \frac{1}{4}\left[h^2 - \left(\frac{k-2}{\alpha+1}\right)^2\right]$ 与 $N = h+1$。