[论文解读] Poincaré type inequalities for group measure spaces and related transportation cost inequalities

Qiang Zeng|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文通过非交换 Riesz 变换和乘子理论，为由正交群表示导出的群测度空间 $L_\infty(\Omega_H,\gamma)\rtimes G$ 建立了常数为 $C\sqrt{p}$ 的 $L_p$ Poincaré 不等式，并在非交换设定下推导出精确的运输成本不等式，提供了 Rieffel 的紧致量子度量空间的新例子，并扩展了混沌估计技术。

ABSTRACT

Let $G$ be a countable discrete group with an orthogonal representation $α$ on a real Hilbert space $H$. We prove $L_p$ Poincaré inequalities for the group measure space $L_\infty(Ω_H,γ) times G$, where both the group action and the Gaussian measure space $(Ω_H, γ)$ are associated with the representation $α$. The idea of proof comes from Pisier's method on the boundedness of Riesz transform and Lust-Piquard's work on spin systems. Then we deduce a transportation type inequality from the $L_p$ Poincaré inequalities in the general noncommutative setting. This inequality is sharp up to a constant (in the Gaussian setting). Several applications are given, including Wiener/Rademacher chaos estimation and new examples of Rieffel's compact quantum metric spaces.

研究动机与目标

• 为由正交群表示生成的群测度空间所关联的非交换 $L_p$ 空间，建立常数为 $C\sqrt{p}$ 的 $L_p$ Poincaré 不等式。
• 从这些 $L_p$ Poincaré 不等式出发，在一般非交换设定下推导出运输成本不等式，并证明在高斯情形下该不等式至多相差一个常数因子是精确的。
• 利用推导出的不等式和半群理论，提供 Rieffel 的紧致量子度量空间的新例子。
• 通过新不等式在非交换框架下扩展 Wiener 和 Rademacher 混沌估计技术。

提出的方法

• 从可数离散群 $G$ 和实希尔伯特空间 $H$ 上的正交表示 $\alpha$ 构造群测度空间 $L_\infty(\Omega_H,\gamma)\rtimes G$，并配备一个典范迹。
• 在交叉积上定义奥恩斯坦-乌伦贝克半群 $T_t = P_t \otimes \text{id}_{\ell_2(G)}$，其在群测度空间上限制为标准半群。
• 利用非交换 Riesz 变换理论和完全有界乘子，将 $x - E_{\text{Fix}}x$ 的 $L_p$ 范数以 $C\sqrt{p}$ 乘以梯度形式 $\Gamma_A(x,x)^{1/2}$ 的 $L_p$ 范数有界。
• 通过半群理论和谱估计（包括快速 $s$-衰减条件及长度函数 $\psi(g)$ 的下界）证明预解算子的紧致性，并建立 $L_p$ Poincaré 不等式。
• 通过将 $L_p$ 范数的偏离与梯度形式关联，利用对偶性和非交换 $L_p$-范数估计，从 $L_p$ Poincaré 不等式推导出运输成本不等式。
• 通过与经典和非交换概率中的已知结果比较，验证在高斯设定下所得不等式至多相差一个常数因子是精确的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由正交群表示构造的群测度空间建立常数为 $C\sqrt{p}$ 的 $L_p$ Poincaré 不等式？
• RQ2 此类 $L_p$ Poincaré 不等式是否蕴含非交换运输成本不等式，且在高斯情形下该不等式是否精确？
• RQ3 能否从推导出的不等式构造出 Rieffel 的紧致量子度量空间的新例子？
• RQ4 这些不等式如何在非交换 $L_p$-空间中扩展 Wiener 和 Rademacher 混沌理论？

主要发现

• 本文证明了在群测度空间 $L_\infty(\Omega_H,\gamma)\rtimes G$ 上，对 $2 \leq p < \infty$，有形式为 $\|x - E_{\text{Fix}}x\|_p \leq C\sqrt{p} \max\{\|\Gamma_A(x,x)^{1/2}\|_p, \|\Gamma_A(x^*,x^*)^{1/2}\|_p\}$ 的 $L_p$ Poincaré 不等式。
• 所推导的运输成本不等式在高斯设定下至多相差一个常数因子是精确的，将已知的对数 Sobolev 不等式结果推广至 Poincaré 型不等式。
• 通过在快速 $s$-衰减和正长度函数等条件下定义的半范数 $\|f\|_{\Gamma,\alpha} = \max\{\|\Gamma_A(f,f)^{1/2}\|_\alpha, \|\Gamma_A(f^*,f^*)^{1/2}\|_\alpha\}$，构造了 Rieffel 的紧致量子度量空间的新例子。
• 证明依赖于非交换 Riesz 变换的有界性及谱估计，表明当 $p$ 足够大时，$A^{-1/2}: L_p^0 \to L_\infty^0$ 是紧算子，从而在量子度量拓扑下单位球具有相对紧性。
• 结果将 Efraim 和 Lust-Piquard 对 Walsh 系统和 CAR 代数的 $L_p$ Poincaré 不等式推广至非交换群测度空间设定。
• 该框架为在非交换 $L_p$-空间中利用常数为 $C\sqrt{p}$ 的 $L_p$ Poincaré 不等式系统性地估计 Wiener 和 Rademacher 混沌提供了方法。