[论文解读] Point counting for foliations over number fields

Gal Binyamini|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文通过Fuchsian微分方程解的增长估计，建立了在数域上定义的代数簇上叶层与代数子簇之间交点数的有效多项式界。关键结果是关于度数和到奇点距离的对数的点计数界，该结果在丢番图几何中实现了有效可判定性与插值结果，包括椭圆曲线上同时扭点的有效界，以及模曲线幂的André-Oort猜想的多项式时间可判定性。

ABSTRACT

We consider an algebraic variety and its foliation, both defined over a number field. We prove upper bounds for the geometric complexity of the intersection between a leaf of the foliation and a subvariety of complementary dimension (also defined over a number field). Our bounds depend polynomially on the degrees, logarithmic heights, and the logarithmic distance to a certain \emph{locus of unlikely intersections}. Under suitable conditions on the foliation, we show that this implies a bound, polynomial in the degree and height, for the number of algebraic points on transcendental sets defined using such foliations. We deduce several results in Diophantine geometry. i) Following Masser-Zannier, we prove that given a pair of sections $P,Q$ of a non-isotrivial family of squares of elliptic curves that do not satisfy a constant relation, whenever $P,Q$ are simultaneously torsion their order of torsion is bounded effectively by a polynomial in the degrees and log-heights of the sections $P,Q$. In particular the set of such simultaneous torsion points is effectively computable in polynomial time. ii) Following Pila, we prove that given $V\subset\mathbb{C}^n$ there is an (ineffective) upper bound, polynomial in the degree and log-height of V, for the degrees and discriminants of maximal special subvarieties. In particular it follows that André-Oort for powers of the modular curve is decidable in polynomial time (by an algorithm depending on a universal, ineffective Siegel constant). iii) Following Schmidt, we show that our counting result implies a Galois-orbit lower bound for torsion points on elliptic curves of the type previously obtained using transcendence methods by David.

研究动机与目标

• 建立在数域上，叶层与代数子簇之间交点数的有效多项式界。
• 通过代数映射的像中代数点的计数框架，建立以度数和高度为参数的界。
• 将这些界应用于解决丢番图几何中的经典问题的有效版本，包括Masser-Zannier猜想与Pila的André-Oort猜想。
• 利用分析方法推导椭圆曲线上扭点的伽罗瓦轨道下界，避免使用超越性理论。

提出的方法

• 在数域上使用Fuchsian微分方程来建模叶层的几何结构，并控制解的增长。
• 应用Weierstrass多圆盘覆盖与喷射范数估计，控制交点的局部几何。
• 通过度数与高度控制，建立非齐次Fuchsian方程解的喷射范数增长的有效界。
• 构造半径受控的圆盘链，将基点的界传播到任意目标点，确保与到奇点距离的多项式依赖关系。
• 利用高度与度数不变量（δ_V）量化代数子簇及其交点的复杂性。
• 在叶层背景下应用Pila-Wilkie型计数原理，推导代数点在交点像中的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 叶层与代数子簇之间的交点数能否以子簇的度数与高度为参数，实现有效有界？
• RQ2 在代数映射下，此类交点的像中，有界度数与高度的代数点数是否存在多项式界？
• RQ3 Masser-Zannier猜想中关于阿贝尔簇族中同时扭点的问题，能否在截面不变量的多项式界下实现有效化？
• RQ4 模曲线幂的André-Oort猜想是否允许存在多项式时间可判定的算法，即使常数为无效？
• RQ5 能否使用分析方法而非超越性理论，推导椭圆曲线上扭点的伽罗瓦轨道下界？

主要发现

• 紧致叶段与代数子簇V之间的交点数，被有界为δ_V与log(dist⁻¹(B, Σ_V))的多项式，其中δ_V结合了V的度数与对数高度。
• 对于映射Φ，Φ(B ∩ V)中度数g与对数高度h的代数点数，在适当条件下被有界为g与h的多项式。
• 在非等构族的椭圆曲线平方中，同时扭点的集合可在多项式时间内有效计算，扭点阶数被有界为δ_P与δ_Q的多项式。
• 在C^n的子簇中，极大特殊子簇的度数与判别式存在无效但多项式上界，从而意味着模曲线幂的André-Oort猜想具有多项式时间可判定性。
• 通过分析方法推导出椭圆曲线上扭点的伽罗瓦轨道下界，其结果与此前通过超越性技术获得的界一致。
• 非齐次Fuchsian方程解的增长被证明为到奇点距离倒数的多项式，且对系数方程的度数与高度具有有效依赖关系。