[论文解读] Point pushing, homology, and the hyperelliptic involution

Tara Brendle, Dan Margalit|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文为双曲椭圆陶瑞利群建立了贝尔曼正合序列，证明在两种关键情形下该序列可裂：当标记一个在双曲椭圆对合下固定的点，或一对被该对合交换的点时。该裂化使得作者得以证明，双曲椭圆陶瑞利群由对称分离曲线上的德恩旋转变换生成，当且仅当其由可约元素生成，部分解决了该猜想，并与伯劳表示的核建立了联系。

ABSTRACT

The hyperelliptic Torelli group is the subgroup of the mapping class group consisting of elements that act trivially on the homology of the surface and that also commute with some fixed hyperelliptic involution. We prove a Birman exact sequence for hyperelliptic Torelli groups, and we show that this sequence splits. As a consequence, we show that the hyperelliptic Torelli group is generated by Dehn twists if and only if it is generated by reducible elements. We also give an application to the kernel of the Burau representation.

研究动机与目标

• 将贝尔曼正合序列推广至双曲椭圆陶瑞利群，即映射类群的一个子群，其在同调上作用平凡且与双曲椭圆对合可交换。
• 通过涉及带标记的曲面和边界分量的正合序列，理解双曲椭圆陶瑞利群的结构。
• 解决双曲椭圆陶瑞利群中由德恩旋转变换生成与由可约元素生成之间的关系。
• 将结果应用于伯劳表示的核，特别是在对称曲线结构的背景下。

提出的方法

• 通过考虑带有标记点或边界分量的曲面，为双曲椭圆陶瑞利群构造贝尔曼正合序列。
• 利用具有穿孔的球面的基本群数据，识别从带标记的双曲椭圆陶瑞利群到无标记群的遗忘映射的核。
• 利用贝尔曼–海尔登定理，将该核实现为一个由 2g+1 个生成元生成的自由群的子群，并在偶长度字上定义一个到 ℤ^{2g+1} 的同态 ε。
• 通过构造对称曲线和预对称曲线的截面，证明正合序列可裂，利用 ε 的核为无限生成自由群的事实。
• 将裂化结果应用于证明核中的元素均为对称分离曲线上的德恩旋转变换的乘积。
• 通过归纳法对亏格进行论证，结合贝尔曼序列与对称可约元素的结构，证明对称德恩旋转变换生成该群。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲椭圆陶瑞利群是否具有类似于标准映射类群的贝尔曼正合序列？
• RQ2 从带标记的双曲椭圆陶瑞利群到无标记群的遗忘映射的核是否同构于自由群，且该序列是否可裂？
• RQ3 双曲椭圆陶瑞利群是否由对称分离曲线上的德恩旋转变换生成，当且仅当其由可约元素生成？
• RQ4 对称曲线与预对称曲线在构造贝尔曼序列截面中起什么作用？
• RQ5 该核的结构如何与伯劳表示的核相关联？

主要发现

• 从带一个固定标记点的双曲椭圆陶瑞利群到无标记群的遗忘映射是同构，因此贝尔曼序列退化。
• 对于具有一个边界分量的曲面，双曲椭圆陶瑞利群同构于无标记群与 ℤ 的直积。
• 当标记一对被双曲椭圆对合交换的点时，遗忘映射的核同构于从秩为 2g+1 的自由群中偶长度字到 ℤ^{2g+1} 的同态 ε 的核。
• 由此得到的短正合序列是可裂的，因此带标记的双曲椭圆陶瑞利群同构于无标记群与无限生成自由群的半直积。
• 遗忘映射核中的每个元素都是对称分离曲线上德恩旋转变换的乘积。
• 双曲椭圆陶瑞利群由对称分离曲线上的德恩旋转变换生成，当且仅当其由可约元素生成，该结论通过亏格的归纳法及贝尔曼序列的应用得以证明。