[论文解读] Point Set Isolation Using Unit Disks is NP-complete

Rainer Penninger, Ivo Vigan|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过从平面剖分问题约化，证明了使用单位圆盘的点集隔离问题为 NP-完全问题。此外，通过使用单位圆盘构建几何构件，该文进一步建立了单位圆盘图上所有单元连接问题与多终端割问题的 NP-完全性，同时在保持 NP-难性的同时模拟图结构。

ABSTRACT

We consider the situation where one is given a set S of points in the plane and a collection D of unit disks embedded in the plane. We show that finding a minimum cardinality subset of D such that any path between any two points in S is intersected by at least one disk is NP-complete. This settles an open problem raised by Matt Gibson et al[1]. Using a similar reduction, we show that finding a minimum cardinality subset D' of D such that R^2 - (D - D') consists of a single connected region is also NP-complete. Lastly, we show that the Multiterminal Cut Problem remains NP-complete when restricted to unit disk graphs.

研究动机与目标

• 解决使用单位圆盘的点集隔离问题计算复杂性的开放问题。
• 证明寻找单位圆盘的最小子集以隔离集合 S 中所有点对是 NP-完全问题。
• 将 NP-完全性结果扩展至单位圆盘图上的所有单元连接问题与多终端割问题。
• 证明在传感器网络应用中典型的几何约束下，这些问题仍保持 NP-完全性。

提出的方法

• 通过在整数网格上进行几何嵌入，将 NP-完全的平面剖分问题约化为点集隔离问题。
• 通过单位圆盘排列构建边构件，以模拟图的边，且不同边之间的构件互不相交。
• 将顶点构件设计为围绕网格点的圆形单位圆盘排列，以模拟图的顶点，并与关联的边构件相连。
• 利用半径和位置约束，确保仅关联的边构件与顶点构件相交，从而保持结构保真度。
• 对所有单元连接问题与单位圆盘图上的多终端割问题，采用类似的基于构件的约化方法，证明其 NP-完全性。
• 使用带有多条并行磁盘路径的加权边构件来模拟边权，确保断开端点需要移除数量等于边权的磁盘。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用单位圆盘的点集隔离问题是否为 NP-完全问题？
• RQ2 能否通过几何约化证明所有单元连接问题为 NP-完全？
• RQ3 当受限于单位圆盘图时，多终端割问题是否仍为 NP-完全？
• RQ4 能否使用由单位圆盘构建的几何构件来建立这些问题的 NP-完全性？
• RQ5 在单位圆盘半径和平面嵌入等几何约束下，其难解性是否仍然保持？

主要发现

• 通过从平面剖分问题的约化，证明了点集隔离问题为 NP-完全问题。
• 通过类似的单位圆盘几何构件构造，证明了所有单元连接问题为 NP-完全问题。
• 即使在边权有界和最大度有界的条件下，多终端割问题在受限于单位圆盘图时仍为 NP-完全问题。
• 约化保持解的大小：原图中大小为 k 的解对应于单位圆盘图中大小为 k 的解。
• 构造确保仅关联的边构件与顶点构件相交，非关联构件保持互不相交，从而保证约化的正确性。
• 结果证实，即使在传感器网络的现实约束下，这些几何网络问题仍具有计算困难性。