[论文解读] Pointed and copointed Hopf algebras as cocycle deformations

L. Grünenfelder, Mitja Mastnak|ArXiv.org|Sep 2, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 20

一句话总结

本文证明了在安德鲁斯基耶维奇-施耐德分类中具有相同图式的所有有限维 pointed Hopf 代数彼此之间是 cocycle 变形。通过利用 braided Hopf 代数对这些代数进行刻画，并结合 Morita-Takeuchi 等价与 Hopf Galois 扩张理论，作者表明变形由 Hochschild 上同调控制，并通过对偶性将结果推广至 copointed Hopf 代数。

ABSTRACT

We show that all finite dimensional pointed Hopf algebras with the same diagram in the classification scheme of Andruskiewitsch and Schneider are cocycle deformations of each other. This is done by giving first a suitable characterization of such Hopf algebras, which allows for the application of a result of Masuoka about Morita-Takeuchi equivalence and of Schauenburg about Hopf Galois extensions. The "infinitesimal" part of the deforming cocycle and of the deformation determine the deformed multiplication and can be described explicitly in terms of Hochschild cohomology. Applications to, and results for copointed Hopf algebras are also considered.

研究动机与目标

• 建立所有在 Andruskiewitsch-Schneider 分类中具有同构图式的有限维 pointed Hopf 代数彼此之间是 cocycle 变形的结论。
• 提供一种适合应用 Morita-Takeuchi 等价与 Hopf Galois 扩张理论的此类 Hopf 代数的刻画方式。
• 通过 duality 将变形框架推广至 copointed Hopf 代数，其中根是 Hopf 理想，商是群代数。
• 通过 Nichols 代数的 Hochschild 上同调显式描述变形的无穷小部分。
• 证明乘法与共乘法的变形均源于卷积可逆的 cocycle，且在上同调设定中形式化。

提出的方法

• 将 pointed Hopf 代数刻画为 Nichols 代数 $ B(V) \# kG $ 的提升，其中 $ V $ 是有限 Cartan 型的 $ kG $-模。
• 应用 Masuoka 的上积构造，建立具有同构图式的提升之间的 Morita-Takeuchi 等价。
• 利用 Schauenburg 的 Hopf Galois 扩张理论，证明 Morita-Takeuchi 等价的 Hopf 代数彼此之间是 cocycle 变形。
• 通过卷积可逆的 cocycle 形式化建模变形，其无穷小部分位于 Hochschild 上同调中。
• 将变形后的乘法与共乘法与 $ B(V) $ 或 $ H(V) $ 的 $ G $-不变 Hochschild 2-上循环联系起来。
• 通过对偶化构造，通过共乘法变形获得 copointed Hopf 代数，满足 $ \mathrm{gr}_a H \cong H(V) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Andruskiewitsch-Schneider 分类中，所有具有相同图式的有限维 pointed Hopf 代数是否彼此之间都是 cocycle 变形？
• RQ2 Nichols 代数的提升问题是否可通过 cocycle 变形解决，其与 Hochschild 上同调有何关联？
• RQ3 Morita-Takeuchi 等价在连接同一 Nichols 代数的不同提升中起什么作用？
• RQ4 cocycle 变形的无穷小部分如何决定变形后的乘法与共乘法？
• RQ5 pointed 与 copointed Hopf 代数之间的对偶性是否可通过乘法与共乘法的 cocycle 变形形式化？

主要发现

• 所有具有同构关联分次 Hopf 代数 $ \mathrm{gr}_c H $ 的有限维 pointed Hopf 代数彼此之间是 cocycle 变形。
• cocycle 变形的无穷小部分是 $ H^2(B(V), k) $ 中 $ G $-不变部分的 Hochschild 2-上循环，该部分决定了变形后的乘法。
• 对于 copointed Hopf 代数，共乘法的变形由卷积可逆的余代数 cocycle 控制，其无穷小部分位于 $ H^2(H(V), k)^G $ 中。
• 当 $ b \neq 0 $ 时，由 $ g^{p^2}=1, gx=qxg, gy=q^{-1}yg, [x,y]=b(g^2-1), x^p = a(g^p-1), y^p = b(g^p-1) $ 定义的 Hopf 代数具有平凡的 $ G(H^*) $，表明其表示理论非平凡。
• 当 $ g^p=1, x^p=y^p=0, [x,y]=b(g^2-1) $ 时，若 $ b \neq 0 $，该代数恰好有 $ p $ 个不可约表示，每个维数从 1 到 $ p $ 各一个。
• 当 $ G $ 是阶为 $ n=rs $ 的循环群，$ \gcd(r,s)=1 $，且 $ a,c \neq 0 $ 时，若 $ s $ 为奇数，则 $ G(H^*) $ 平凡；若 $ s $ 为偶数，则 $ |G(H^*)|=2 $。