[论文解读] Pointed $p^3$-dimensional Hopf algebras in positive characteristic

Van C. Nguyen, Xingting Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文在正特征 $p>0$ 的代数闭域上，对所有 $p^3$-维点状 Hopf 代数进行了分类，重点关注群-群状元素群阶为 $p$ 或 $p^2$ 的情形。通过 Andruskiewitsch-Schneider 程序，从关联的分次 Hopf 代数实现提升，得到新的非交换、非余交换有限维 Hopf 代数家族，包括无限参数族和依赖于 $p$ 与结构参数的有限类。

ABSTRACT

We classify pointed $p^3$-dimensional Hopf algebras $H$ over any algebraically closed field $k$ of prime characteristic $p>0$. In particular, we focus on the cases when the group $G(H)$ of group-like elements is of order $p$ or $p^2$, that is, when $H$ is pointed but is not connected nor a group algebra. This work provides many new examples of (parametrized) non-commutative and non-cocommutative finite-dimensional Hopf algebras in positive characteristic.

研究动机与目标

• 完成对任意特征代数闭域上 $p^3$-维点状 Hopf 代数的分类。
• 将 Andruskiewitsch-Schneider 分类程序从特征零推广至正特征 $p>0$。
• 分析当关联的群-群状元素群阶为 $p$ 或 $p^2$ 时，分次设置下辫状 Hopf 代数的提升。
• 解决在正特征下，特别是当 $p$ 整除维数时，辫状 Hopf 代数不一定是拟素生成的挑战。
• 在正特征下提供显式参数化家族及非平凡点状 Hopf 代数的有限类。

提出的方法

• 应用 Andruskiewitsch-Schneider 提升方法，对正特征下的 $p^3$-维点状 Hopf 代数进行分类。
• 根据群 $G(H)$ 的阶将分类划分为 $|G(H)|=p$ 或 $p^2$ 两种情形。
• 分析关联的分次 Hopf 代数 $\mathrm{gr}\,H \cong R \# \mathbb{k}G(H)$，其中 $R$ 是 Yetter-Drinfeld 类别 ${}^G_G\mathcal{YD}$ 中的辫状 Hopf 代数。
• 使用 Diamond 引理解决关系定义中的歧义，验证代数的有限性与一致性。
• 通过求解关于余乘积和关系的上同调与代数约束来处理提升，尤其针对非拟素生成的 $R$。
• 根据 $R$ 的类型（对角型或 Jordan 型）以及 $G(H)$ 对生成元的作用进行区分，特别是在特征 $p$ 下的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 与特征零相比，正特征下点状 $p^3$-维 Hopf 代数的提升有何不同？
• RQ2 当 $p$ 整除 $\dim H$ 时，关联分次 Hopf 代数中辫状 Hopf 代数 $R$ 的拟素性会发生什么变化？
• RQ3 Andruskiewitsch-Schneider 提升方法能否在正特征下系统性应用？会引出哪些新的结构现象？
• RQ4 在特征 $p>0$ 的代数闭域上，$p^3$-维点状 Hopf 代数的完整同构类是什么？
• RQ5 此类 Hopf 代数的有限类与参数族的数量和结构如何依赖于 $p$ 与群作用？

主要发现

• 当 $|G(H)|=p$ 时，论文在 $u=0$ 情形下识别出 Case A1 包含 $1$ 个无限参数族和 $10$ 个有限类；在 $u\neq0$ 情形下包含 $2(p-1)$ 个无限族和 $6(p-1)$ 个有限类。
• 在 Case A2 中，由于 $G(H)$ 在 $a$ 和 $b$ 上作用平凡，共得到 $5$ 个有限类的 Hopf 代数。
• 当 $p=2$ 时，Case A3 在 $G(H)$ 对 $a$ 和 $b$ 作用非平凡的情形下，产生 $5$ 个有限类的 Hopf 代数。
• 在 Case B（$p>2$）中，一般情形下的提升未完全解决，但对 $p=3$ 的情形进行了详细分析，并对 $p>3$ 提出了一个猜想。
• 在 Case C（$\epsilon=0$）中，存在 $1$ 个无限参数族和 $2$ 个有限类；当 $\epsilon=1$ 时，提升未完全解决，但对 $p=2$ 及 $p>2$ 且满足 $gx=xg$ 的情形进行了分析。
• 在 Case D1（$|G(H)|=p^2$）中，当 $\epsilon=0$ 时有 $2$ 个有限类，$\epsilon=1$ 时有 $2$ 个类（依赖于 $\epsilon_1$），$\epsilon=p$ 时有 $2$ 个类，且当 $\epsilon=1$ 且 $\epsilon_1=1$ 时存在一个 $1$-参数族。