[论文解读] Pointless curves of genus three and four

Everett W. Howe, Kristin Lauter+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文精確確定了哪些有限域 𝔽_q 允許存在虧格 3 或 4 的無點曲線 —— 亦即光滑、射影、幾何不可約但無 𝔽_q 有理點的曲線。利用 Weil 與 Serre 界限制可能的域，作者證明：無點虧格 3 曲線存在於 𝔽_q 當且僅當 q ≤ 25 或 q = 29 或 q = 32；無點虧格 4 曲線存在當且僅當 q ≤ 49。透過代數幾何與計算方法的顯式構造及非存在性證明，確認了結果。

ABSTRACT

A curve over a field k is pointless if it has no k-rational points. We show that there exist pointless genus-3 hyperelliptic curves over a finite field F_q if and only if q < 26, that there exist pointless smooth plane quartics over F_q if and only if either q < 24 or q = 29 or q = 32, and that there exist pointless genus-4 curves over F_q if and only if q < 50.

研究动机与目标

• 確定所有有限域 𝔽_q，使得存在虧格 3 或 4 且無 𝔽_q 有理點的曲線。
• 解決 Weil 界的對補問題：在 𝔽_q 上，虧格 g 的曲線其有理點數的最小值是多少？
• 針對所有存在無點曲線的有限域，提供虧格 3 與虧格 4 曲線的顯式構造。
• 利用代數幾何與計算代數系統的技術，證明某些有限域上無點曲線的非存在性。

提出的方法

• 應用 Weil 與 Serre 界，限制可能存有無點虧格 3 或虧格 4 曲線的有限域 𝔽_q。
• 針對每個候選的 q ≤ 界限，透過 [8] 中的方法（包括 zeta 函數與類域論）構造顯式無點曲線，或證明其非存在性。
• 使用計算代數系統 Magma 進行顯式計算，包括 Hermitian 型的同構類與曲線模型。
• 利用多項式方程（無有理數解）構造 𝔽_q 上的虧格 3 双曲曲線與光滑平面四次曲線。
• 針對虧格 4 曲線，透過三角曲線模型與橢圓曲線的雙覆蓋構造範例，特別是在特徵為 2 的域上。
• 利用對稱性與自同構群（例如 Klein 四元群）簡化模型構造並驗證性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些有限域 𝔽_q，存在無點虧格 3 曲線？
• RQ2 對於哪些有限域 𝔽_q，存在無點虧格 4 曲線？
• RQ3 當 q = 25 或 q = 31 時，是否存在無點光滑平面四次曲線？
• RQ4 無點虧格 3 双曲曲線是否可能在 𝔽_29 或 𝔽_32 上存在？
• RQ5 在 𝔽_q 上，無點虧格 4 曲線存在的最大 q 值為何？

主要发现

• 在 𝔽_q 上存在無點虧格 3 双曲曲線，當且僅當 q ≤ 25。
• 在 𝔽_q 上存在無點光滑平面四次曲線，當且僅當 q ≤ 23 或 q = 29 或 q = 32。
• 在 𝔽_q 上存在無點虧格 3 曲線，當且僅當 q ≤ 25 或 q = 29 或 q = 32。
• 在 𝔽_q 上存在無點虧格 4 曲線，當且僅當 q ≤ 49。
• 在 𝔽_53 或 𝔽_59 上不存在無點虧格 4 曲線，確認了 q = 49 為界。
• 針對所有相關有限域，提供了所有無點虧格 3 與虧格 4 曲線的顯式模型，包含三角曲線與雙曲形式。