[论文解读] Points in a triangle forcing small triangles

Matthew Kahle|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2008

Mathematics and Applications参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过证明单位面积三角形中任意五个点必包含三个点构成面积不超过 $6/25 = 0.24$ 的三角形，改进了离散几何中的一个经典结果，将此前已知的 $1/4 = 0.25$ 的界进一步收紧。证明方法利用仿射不变性、基于面积的条带分析以及将三角形组合划分为小等边子三角形，以排除不包含小三角形的构型。论文还提出最优界应为 $1/6$ 的猜想。此外，研究了 $n$ 个点构成的小三角形的最小数量，并猜想当 $n$ 很大时，所有三角形中约有 $5/8$ 为小三角形。

ABSTRACT

An old theorem of Alexander Soifer's is the following: Given five points in a triangle of unit area, there must exist some three of them which form a triangle of area 1/4 or less. It is easy to check that this is not true if "five" is replaced by "four", but can the theorem be improved in any other way? We discuss in this article two different extensions of the original result. First, we allow the value of "small", 1/4, to vary. In particular, our main result is to show that given five points in a triangle of unit area, then there must exist some three of them determining a triangle of area 6/25 or less. Second, we put bounds on the minimum number of small triangles determined by n points in a triangle, and make a conjecture about the asymptotic right answer as n tends to infinity.

研究动机与目标

• 改进单位面积三角形中任意五个点构成的最小三角形面积的已知上界。
• 研究五个点是否必然形成多于一个“小三角形”（定义为面积 $\leq 1/4$），若是，其数量至少为多少。
• 确定当 $n \to \infty$ 时，$n$ 个点在单位三角形中构成的小三角形（面积 $\leq 1/4$）的渐近最小比例。
• 探讨 $1/4$ 界的紧致性，并提出最优值 $s = 1/6$ 的猜想。

提出的方法

• 利用仿射不变性，假设单位三角形为等边三角形，以简化面积与距离的计算。
• 将等边三角形划分为 $100$ 个全等的小等边三角形，边长为 $L/10$，其中 $L$ 为原三角形的边长。
• 将“小三角形”定义为面积 $\leq 6/25 = 24/100$ 的三角形，并利用几何条带方法限制与给定点对构成小三角形的点的轨迹。
• 应用平行四边形引理与几何约束，限制点的位置，证明若不存在三点构成小三角形，则产生矛盾。
• 基于点在各区域（菱形、梯形）中的分布进行分类讨论，系统性地排除不包含小三角形的构型。
• 利用紧致性与对称性，将问题简化为有限多个构型，从而证明在新界下至少存在一个三角形为小三角形。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 $\sigma$ 的下确界 $s$ 是多少，使得单位面积三角形中任意五个点必包含三个点构成面积 $\leq \sigma$ 的三角形？
• RQ2 是否可以改进 $1/4$ 的界？$6/25$ 是否为五个点情形下最优的此类界？
• RQ3 是否成立：单位三角形中五个点必然构成至少三个小三角形（面积 $\leq 1/4$）？
• RQ4 当 $n \to \infty$ 时，$n$ 个点在单位三角形中构成的小三角形（面积 $\leq 1/4$）的渐近最小比例 $\alpha$ 是多少？
• RQ5 图 17 所示的构造使约 $5/8$ 的三角形为小三角形，该构造是否渐近最优？

主要发现

• 本文证明：在单位面积三角形中，任意五个点中必存在三点构成面积不超过 $6/25 = 0.24$ 的三角形，优于此前的 $1/4 = 0.25$ 界。
• 界 $6/25$ 在某种意义下是紧的，即不存在更小的普遍界，因为存在构型使得所有三角形面积均 $> 6/25$ 但 $\leq 1/4$。
• 本文猜想：$s$ 的最优值（即所有 $\sigma$ 的下确界，使得存在三点构成面积 $\leq \sigma$ 的三角形）为 $1/6$，并给出了达到该界的构造。
• 已证明五个点可能仅构成三个小三角形（面积 $\leq 1/4$），因此猜想其至少构成三个小三角形虽合理，但仅凭此例尚不足以证明。
• 本文猜想：$n$ 个点在单位三角形中构成的小三角形的渐近最小比例为 $5/8$，其依据是将 $n/4$ 个点分别置于四个小区域中，可使所有三角形中约有 $5/8$ 为小三角形。
• 图 17 所示的构造表明 $A \leq 5/8$，本文猜想该值即为满足“对大 $n$，$n$ 个点总构成至少 $\alpha \binom{n}{3}$ 个小三角形”的上确界 $A$。