[论文解读] Pointwise convergence of averages along cubes

Idris Assani|ArXiv.org|May 27, 2003

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文建立了在保测度系统中沿立方体的多重遍历平均的逐点几乎处处收敛性，扩展了先前关于 $L^2$ 收敛的结果。通过谱方法和一致的Wiener-Wintner型估计，证明了在三维立方体上对七个有界函数的平均几乎处处收敛，且 $CL$ 因子在遍历系统中对这种收敛具有特征性。

ABSTRACT

Let $(X,\mathcal{B},μ, T)$ be a measure preserving system. We prove the pointwise convergence of the averages $$\frac{1}{N^2}\sum_{n,m= 0}^{N-1} f_1(T^nx)f_2(T^mx)f_3(T^{n+m}x)$$ and of similar averages with seven bounded functions.

研究动机与目标

• 建立保测度系统中沿立方体的多重遍历平均的逐点几乎处处收敛性。
• 将先前关于立方平均的 $L^2$ 收敛结果扩展到几乎处处收敛。
• 阐明 $CL$ 因子在遍历系统中对逐点收敛的特征性作用。
• 证明在弱混合系统中，$2^k - 1$ 个有界函数的平均几乎处处收敛于其积分的乘积。
• 证明Kronecker因子对三函数立方平均的逐点收敛具有特征性。

提出的方法

• 使用遍历分解将问题约化为遍历系统。
• 应用Bourgain的一致Wiener-Wintner结果来控制正交于Kronecker因子的补空间中函数的指数和。
• 采用 $L^ u$-范数估计和柯西-施瓦茨型不等式来控制平均算子的 $L^2$-范数。
• 引入立方平均在低维立方体上的嵌套平均的递归分解。
• 利用谱理论和 $CL$ 因子的结构，分析当一个函数积分为零时的极限行为。
• 应用引理4表明，当一个函数正交于 $CL$ 因子时，平均的 $L^2$-范数趋于零，从而在该情况下蕴含几乎处处收敛于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界函数下，立方平均 $\frac{1}{N^3}\sum_{m,n,p=0}^{N-1} f_1(T^m x)f_2(T^n x)f_3(T^{m+n}x)f_4(T^p x)f_5(T^{m+p}x)f_6(T^{n+p}x)f_7(T^{m+n+p}x)$ 是否几乎处处收敛？
• RQ2 $CL$ 因子是否在遍历系统中对这种七函数平均的逐点收敛具有特征性？
• RQ3 在弱混合系统中，$2^k - 1$ 个有界函数的平均是否仍保持逐点收敛？
• RQ4 能否证明Kronecker因子对三函数立方平均的逐点收敛具有特征性？
• RQ5 为何 $L^2$ 收敛不能推出非中心化或非均匀间隔平均的几乎处处收敛？

主要发现

• 在任意遍历保测度系统中，七个有界函数在三维立方体上的平均几乎处处收敛。
• $CL$ 因子对七函数立方平均的逐点收敛具有特征性，意味着极限仅依赖于该因子上的投影。
• 在弱混合系统中，$2^k - 1$ 个有界函数的平均几乎处处收敛于其积分的乘积，对所有 $k \geq 1$ 成立。
• 对于三函数平均，Kronecker因子对逐点收敛具有特征性，且当一个函数正交于该因子时极限为零。
• 证明表明，当一个函数积分为零且系统为弱混合时，平均的 $L^2$-范数趋于零，从而蕴含几乎处处收敛于零。
• 本文表明，$L^2$ 收敛不能推出非均匀或非中心化平均的几乎处处收敛，文献中的反例已说明这一点。