[论文解读] Pointwise convergence of multiple ergodic averages and strictly ergodic models

Wen Huang, Song Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用 26

一句话总结

本文通过构建严格遍历模型，建立了遍历系统中多重遍历平均的逐点收敛性，证明了对于任意遍历系统和有界可观测量，二维网格上的平均值几乎处处收敛于一个常数。此外，本文还解决了距离系统中几乎处处收敛的问题，表明沿多项式轨道的多重遍历平均几乎处处收敛，方法是利用在乘积系统中对角点轨道闭包上支持的不变测度。

ABSTRACT

By building some suitable strictly ergodic models, we prove that for an ergodic system $(X,\mathcal{X},μ, T)$, $d\in{\mathbb N}$, $f_1, \ldots, f_d \in L^{\infty}(μ)$, the averages $$\frac{1}{N^2} \sum_{(n,m)\in [0,N-1]^2} f_1(T^nx)f_2(T^{n+m}x)\ldots f_d(T^{n+(d-1)m}x) $$ converge $μ$ a.e. Deriving some results from the construction, for distal systems we answer positively the question if the multiple ergodic averages converge a.e. That is, we show that if $(X,\mathcal{X},μ, T)$ is an ergodic distal system, and $f_1, \ldots, f_d \in L^{\infty}(μ)$, then multiple ergodic averages $$\frac 1 N\sum_{n=0}^{N-1}f_1(T^nx)\ldots f_d(T^{dn}x) $$ converge $μ$ a.e.

研究动机与目标

• 建立形如 $\frac{1}{N^2}\sum_{(n,m)\in[0,N-1]^2} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{n+(d-1)m}x)$ 的多重遍历平均在遍历系统中的逐点收敛性。
• 为遍历系统构造严格遍历的拓扑模型，使得在 $\langle \tau_d(T), \sigma_d(T) \rangle$ 作用下，对角点的轨道闭包是严格遍历的。
• 解决在遍历距离系统类中，多重遍历平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{dn}x)$ 几乎处处收敛的开放问题。
• 构造一族概率测度 $\{\mu_x^{(d)}\}$ 在 $X^d$ 上，使得平均值在 $L^2(\mu)$ 中收敛，且这些测度的投影关于 $\mu$ 绝对连续。

提出的方法

• 为任意遍历测度保持系统 $(X, \mathcal{X}, \mu, T)$ 构造一个严格遍历的拓扑模型 $(\hat{X}, \hat{T})$，使得在 $\langle \tau_d(\hat{T}), \sigma_d(\hat{T}) \rangle$ 作用下，$(x,\ldots,x)$ 的轨道闭包 $N_d(\hat{X})$ 是严格遍历的。
• 利用此类模型的存在性，推导出多重遍历平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{(n,m)\in[0,N-1]^2} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{n+(d-1)m}x)$ 几乎处处收敛于一个常数。
• 通过在 $X^d$ 上构造一族在 $T \times T^2 \times \cdots \times T^d$ 下的遍历不变测度 $\mu_x^{(d)}$，证明对于距离系统，多重遍历平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{dn}x)$ 几乎处处收敛。
• 证明对于 $\mu$-几乎处处的 $x$，测度 $\mu_x^{(d)}$ 在 $T \times T^2 \times \cdots \times T^d$ 下是遍历的，且其投影 $(p_j)_*(\mu_x^{(d)})$ 关于 $\mu$ 绝对连续。
• 利用轨道上经验测度的弱极限点构造不变测度 $\mu_x^{(d)}$，并通过连续函数逼近和条件期望的使用证明其不变性。
• 应用Furstenberg的结构定理，将一般收敛性问题约化为距离系统的弱混合扩张，将距离情形的收敛性证明作为关键步骤。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意遍历系统，多重遍历平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{(n,m)\in[0,N-1]^2} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{n+(d-1)m}x)$ 几乎处处收敛吗？
• RQ2 是否每个遍历系统都可以配备一个严格遍历的拓扑模型，使得在 $\langle \tau_d(T), \sigma_d(T) \rangle$ 作用下，对角点的轨道闭包是严格遍历的？
• RQ3 在遍历距离系统中，多重遍历平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{dn}x)$ 几乎处处收敛吗？
• RQ4 是否可以为 $\mu$-几乎处处的 $x$ 关联一个在 $X^d$ 上关于 $T \times T^2 \times \cdots \times T^d$ 的不变测度 $\mu_x^{(d)}$，使得平均值在 $L^2(\mu)$ 中收敛于 $\int_{X^d} f_1(x_1)\cdots f_d(x_d)\, d\mu_x^{(d)}(x_1,\ldots,x_d)$？
• RQ5 是否可以构造一个拓扑模型，使得对 $\mu$-几乎处处的 $x$，对角点是关于在 $T \times \cdots \times T^d$ 下不变的遍历测度的典型点？

主要发现

• 对于任意遍历系统 $(X, \mathcal{X}, \mu, T)$ 和 $f_1, \ldots, f_d \in L^\infty(\mu)$，平均值 $\frac{1}{N^2}\sum_{(n,m)\in[0,N-1]^2} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{n+(d-1)m}x)$ 几乎处处收敛于一个常数。
• 每个遍历系统都存在一个严格遍历的拓扑模型 $(\hat{X}, \hat{T})$，使得在 $\langle \tau_d(\hat{T}), \sigma_d(\hat{T}) \rangle$ 作用下，对角点的轨道闭包 $N_d(\hat{X})$ 是严格遍历的。
• 在遍历距离系统中，多重遍历平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{dn}x)$ 几乎处处收敛于 $L^2(\mu)$ 中的极限。
• 存在一族 $\{\mu_x^{(d)}\}_{x \in X}$ 概率测度在 $X^d$ 上，使得对 $\mu$-几乎处处的 $x$，$\mu_x^{(d)}$ 在 $T \times T^2 \times \cdots \times T^d$ 下是遍历的，且平均值在 $L^2(\mu)$ 中收敛于 $\int_{X^d} f_1(x_1)\cdots f_d(x_d)\, d\mu_x^{(d)}(x_1,\ldots,x_d)$。
• 对 $\mu$-几乎处处的 $x$，投影 $(p_j)_*(\mu_x^{(d)})$ 关于 $\mu$ 绝对连续，其中 $1 \leq j \leq d$。
• 若每个遍历系统都存在一个拓扑模型，使得对角点是关于在 $T \times \cdots \times T^d$ 下不变的遍历测度的典型点，则可推出多重遍历平均的几乎处处收敛性，而所构造的测度 $\mu_x^{(d)}$ 是此类测度的自然候选。