[论文解读] Pointwise Definable Models of Set Theory

Joel David Hamkins, David Linetsky+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文证明了每个可数的哥德尔-伯恩ays集合论模型（GBC）都存在一个类力迫扩张，该扩张是逐点可定义的，即每个集合和类均可无参数定义。关键贡献在于一种力迫构造，它将整个宇宙编码进一个单一的泛化对象中，确保所有元素均可唯一定义，从而实现一个模型：其中每个数学对象都能通过一阶逻辑显式命名。

ABSTRACT

A pointwise definable model is one in which every object is definable without parameters. In a model of set theory, this property strengthens V=HOD, but is not first-order expressible. Nevertheless, if ZFC is consistent, then there are continuum many pointwise definable models of ZFC. If there is a transitive model of ZFC, then there are continuum many pointwise definable transitive models of ZFC. What is more, every countable model of ZFC has a class forcing extension that is pointwise definable. Indeed, for the main contribution of this article, every countable model of Godel-Bernays set theory has a pointwise definable extension, in which every set and class is first-order definable without parameters.

研究动机与目标

• 研究集合论模型中每个数学对象是否均可无参数定义。
• 调和基础性矛盾：一方面数学茶话论（不可数多个实数，仅可数多个定义）；另一方面，完全可定义的宇宙的可能性。
• 构造ZFC和GBC的逐点可定义模型，其中每个对象均可无参数一阶定义。
• 证明此类模型可通过类力迫获得，同时保持大基数性质。
• 证明每个可数GBC模型均可扩展为逐点可定义模型，即使从一个无任何可定义元素的模型出发。

提出的方法

• 使用逐步的Easton支撑力迫迭代，将整个宇宙编码进一个单一的泛化类Y中，确保每个集合和类均可从Y定义。
• 该构造通过迭代细化条件的树结构，以确保泛化性与可定义性，使用稠密子类的层级结构及分裂节点。
• 构建一个从条件树到映射f的可定义映射，以确保每条分支均与所有Σn-可定义稠密子类相交，从而保证泛化性。
• 力迫设计为：在偶数分裂层级上，根据元素是否属于A_n（一类关注对象）来选择节点，从而将每个A_n编码进泛化对象Y中。
• 最终模型⟨M, ∈, Y⟩满足ZFC(Y)，并确保每个集合和类均可仅从Y定义，从而使模型成为逐点可定义的。
• 该方法保持大基数性质，因为力迫不添加新集合，仅添加一个泛化类。

实验结果

研究问题

• RQ1 ZFC是否一致地允许每个实数在集合论语言中无参数可定义？
• RQ2 每个可数的GBC模型是否均可通过类力迫扩展为ZFC的逐点可定义模型？
• RQ3 当添加一个编码整个宇宙的泛化类时，逐点可定义的性质是否仍然保持？
• RQ4 在可数GBC模型的逐点可定义扩张中，大基数性质是否可被保持？
• RQ5 是否存在一种统一方式，仅使用单个参数（如泛化类Y）来定义模型中的所有集合和类？

主要发现

• 若ZFC一致，则存在连续统多个逐点可定义的ZFC模型，甚至包括传递模型。
• 每个可数的GBC模型均有类力迫扩张，为逐点可定义模型，且每个集合和类均可无参数定义。
• 该构造确保结果模型中每个对象均可由集合论语言中的一阶公式唯一定义。
• 力迫过程保持了来自原模型的所有标准大基数性质。
• 该模型满足V = HOD，且为逐点可定义，证明数学茶话论在该类模型中不成立。
• 泛化类Y编码了整个宇宙，使每个集合和类均可仅从Y定义，因此该模型为逐点可定义。