[论文解读] Pointwise ergodic theorems in symmetric spaces of measurable functions

Vladimir Chilin, Doğan Çömez+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文在无限测度空间上建立了全对称函数空间中 Dunford-Schwartz 算子的逐点遍历定理，其中特征函数 1 不属于该空间。证明了常规及加权遍历平均的几乎处处收敛性，通过 Lorentz 空间与 Orlicz 空间的技术，将 Dunford-Schwartz 定理与 Wiener-Wintner 定理推广至这一更广泛的对称空间类，收敛性对有界 Besicovitch 序列及属于 E 的函数成立。

ABSTRACT

For a Dunford-Schwartz operator in a fully symmetric space of measurable functions of an arbitrary measure space, we prove pointwise convergence of the conventional and weighted ergodic averages.

研究动机与目标

• 将经典的 Dunford-Schwartz 逐点遍历定理推广至无限测度空间上全对称函数空间。
• 在这些空间中建立加权遍历平均的收敛性，特别是针对有界 Besicovitch 序列。
• 将 Wiener-Wintner 遍历定理推广至特征函数 1 不属于空间的全对称空间。
• 证明 1∉E 的全对称空间类严格大于 1≤p<∞ 时的 L^p 空间类。
• 利用 σ-有限测度下的 Return Times 定理，证明具有 Fatou 性质的对称空间中的收敛结果。

提出的方法

• 使用非增重排 μ_t(f) 与次控制关系（g≺≺f）定义全对称空间。
• 利用对称空间中的 Fatou 性质，确保在测度拓扑 t_μ 下单位球的闭性。
• 应用 σ-有限测度空间上的 Return Times 定理，推导轨道上平均的收敛性。
• 通过证明绝对压缩算子在此设定下与 Dunford-Schwartz 算子一致，将问题约化为实值函数。
• 通过三角多项式逼近有界 Besicovitch 序列，以控制加权平均之间的差异。
• 将空间 R_μ（满足 μ_t(f)→0 当 t→∞ 的函数）作为 1∉E 的全对称空间的模型，并证明此类空间包含于 R_μ 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dunford-Schwartz 逐点遍历定理能否推广至特征函数 1 不属于空间的全对称函数空间？
• RQ2 在这些对称空间中，有界 Besicovitch 序列的加权遍历平均在何种条件下几乎处处收敛？
• RQ3 Wiener-Wintner 遍历定理是否在 1∉E 的全对称空间中成立？对哪些权重类成立？
• RQ4 对称空间的性质——特别是 Fatou 性质与次控制关系——如何促进遍历定理从 L^p 空间向外的推广？
• RQ5 测度拓扑 t_μ 在确保全对称空间中遍历平均收敛性方面起什么作用？

主要发现

• 对于任意满足 1∉E 的全对称空间 E，以及任意在 σ-有限测度空间上的 Dunford-Schwartz 算子 T，所有 f∈E 的遍历平均 (1/n)∑_{k=0}^{n-1} T^k f 几乎处处收敛。
• 该收敛性对所有有界 Besicovitch 序列 {b_k} 成立，将 Wiener-Wintner 定理推广至 1∉E 的全对称空间。
• 若 f∈L^1(Ω)∩L^∞(Ω)，则对任意有界 Besicovitch 序列 {b_k}，加权遍历平均几乎处处收敛，且该结果可通过逼近推广至 f∈R_μ。
• 空间 R_μ 是一个满足 1∉R_μ 的全对称空间，且是 L^1∩L^∞ 在 L^1+L^∞ 中的闭包，为定理提供了自然的典型例子。
• 对于 f∈E 且 1∉E，存在一个全测度集 Ω_f，使得对任意有界 Besicovitch 序列 {b_k}，序列 (1/n)∑_{k=0}^{n-1} b_k f(τ^k(ω)) 对所有 ω∈Ω_f 收敛。
• 证明依赖于三角多项式逼近及 b_k 与其逼近之间差异的统一控制，导致误差界与 ε·||f||_∞ 成正比，当 ε→0 时趋于零。