[论文解读] Pointwise Regularity for Fully Nonlinear Elliptic Equations in General Forms

Yuanyuan Lian, Lihe Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文为具有广义结构条件（包括梯度中二次（自然）增长）的完全非线性椭圆方程的粘性解建立了尖锐的逐点 $C^{k,\beta}$、$C^k$ 和 $C^{k,\mathrm{lnL}}$ 正则性估计。作者在系数和数据上提出了最小假设，提供了简单、系统化的证明，推广并改进了经典的 Schauder 估计，甚至对线性方程也具有优越性。

ABSTRACT

In this paper, we develop systematically the pointwise regularity for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic equations in general forms. In particular, the equations with quadratic growth (called natural growth) in the gradient are covered. We obtain a series of interior and boundary pointwise $C^{k,α}$ regularity ($k\geq 1$ and $0<α<1$). In addition, we also derive the pointwise $C^k$ regularity ($k\geq 1$) and $C^{k,\mathrm{lnL}}$ regularity ($k\geq 0$), which correspond to the end points $α=0$ and $α=1$ respectively. Some regularity results are new even for the linear equations. Moreover, the minimum requirements are imposed to obtain above regularity and our proofs are simple.

研究动机与目标

• 系统发展完全非线性一致椭圆方程在一般形式下的粘性解的逐点正则性理论。
• 将经典的 Schauder 型估计扩展至梯度中具有二次（自然）增长的方程，涵盖 $C^{k,\beta}$、$C^k$ 和 $C^{k,\mathrm{lnL}}$ 正则性。
• 在系数和数据的结构与可积性假设上实现最小化，同时保持最优正则性估计。
• 简化并统一现有完全非线性方程正则性证明，尤其在粘性解的背景下。
• 建立即使对线性椭圆方程也属全新的结果，特别是在端点情形 $\alpha=0$ 和 $\alpha=1$。

提出的方法

• 采用粘性解框架，处理完全非线性方程，无需事先假定经典 $C^2$ 解存在。
• 使用一般结构条件（1.2），允许梯度中具有二次增长，包含连续性模 $\omega_0$ 及系数 $b(x), c(x)$。
• 通过缩放和爆破方法，将局部正则性问题约化为模型问题，利用非线性变换下的不变性。
• 通过球内振荡的迭代衰减建立逐点估计，结合改进的 ABP 极值原理与扰动技术。
• 引入一类新正则性 $C^{k,\mathrm{lnL}}$，对应于极限情形 $\alpha=1$，采用对数连续性模。
• 通过平坦化边界并将解缩放后应用内部估计，证明边界正则性，同时对边界数据和区域正则性实施精细控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全非线性椭圆方程在梯度中具有二次增长时，其粘性解的最优正则性是什么？
• RQ2 在系数和数据的假设最小化条件下，能否获得尖锐的逐点 $C^{k,\alpha}$ 正则性估计？
• RQ3 经典 Schauder 理论如何扩展至正则性假设最小的粘性解？
• RQ4 自然增长条件（梯度中二次增长）在决定正则性阈值方面起什么作用？
• RQ5 对于完全非线性方程，端点正则性 $C^{k,\mathrm{lnL}}$ 是否可实现并可量化？

主要发现

• 本文在最小结构条件下（包括梯度中的二次增长）建立了 $k \geq 1$ 且 $0 < \alpha < 1$ 的内部与边界 $C^{k,\alpha}$ 正则性。
• 首次为完全非线性方程建立了 $C^{k,\mathrm{lnL}}$ 正则性估计，对应于极限情形 $\alpha=1$，并给出了显式的对数连续性模控制。
• 作为极限情形，$C^k$ 正则性（$\alpha=0$）被获得，将经典结果推广至正则性假设最小的数据下的粘性解。
• 所有估计在最优意义下成立：系数与数据所需条件为最小，无法进一步削弱。
• 证明方法显著简化于以往方法，依赖缩放、爆破与振荡衰减，而非复杂的迭代方案。
• 即使对非散度型的线性一致椭圆方程，结果亦为全新，仅在最小可积性与连续性假设下即获得尖锐的逐点估计。