[论文解读] Poisson Approximation of Processes with Locally Independent Increments with Markov Switching

В. С. Королюк, Nikolaos Limnios+1 more|ArXiv.org|Oct 19, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 10

一句话总结

该论文在泊松近似方案下建立了具有局部独立增量和马尔可夫切换的随机过程的加性泛函的弱收敛性。通过结合利普特泽的半鞅方法与奇异摄动技术（取代遍历定理），证明了预测特征的收敛性，并将极限过程确定为由平均系数决定的具有漂移、扩散和跳跃成分的马尔可夫过程。

ABSTRACT

In this paper, the weak convergence of additive functionals of processes with locally independent increments and with Markov switching in the scheme of Poisson approximation is proved. For the relative compactness, a method proposed by R. Liptser for semimartingales is used with a modification, where we apply a solution of a singular perturbation problem instead of an ergodic theorem.

研究动机与目标

• 在泊松近似方案下，建立具有局部独立增量和马尔可夫切换的随机过程的加性泛函的弱收敛性。
• 通过用奇异摄动方法替代遍历定理，解决预测特征依赖于过程本身所带来的挑战。
• 在时间缩放参数 ε → 0 下，证明半鞅特征的相对紧致性与收敛性。
• 将极限过程识别为具有由平均动力学导出的漂移、扩散和跳跃成分的马尔可夫过程。
• 通过验证紧致性与特征收敛条件，利用 Jacod 和 Shiryaev（2003）的定理 IX.3.27 验证收敛性。

提出的方法

• 应用利普特泽的半鞅弱收敛方法，重点关注紧致包含条件与矩条件。
• 采用时间缩放方案，参数 ε → 0，其中小跳跃通过 ε⁻¹ 强度进行归一化。
• 将加性泛函建模为 ξ^ε(t) = ξ₀^ε + ∫₀ᵗ η^ε(ds; x(s/ε))，其中 η^ε 为局部独立增量过程。
• 将耦合过程 (ξ^ε, x^ε) 表示为具有生成元 ℒ^ε = ε⁻¹ℚ + Γ̃^ε + B^ε 的三元马尔可夫过程。
• 求解生成元的奇异摄动问题 ℒ^εφ^ε = ℒ̂φ + θ^εφ，得到有效生成元 ℒ̂ = B̂。
• 通过奇异摄动问题的解验证预测特征的收敛性，确保满足定理 IX.3.27 的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在泊松近似方案下，是否可以为具有马尔可夫切换的局部独立增量过程的加性泛函建立弱收敛性？
• RQ2 在收敛性证明中，如何解决预测特征对过程本身依赖性的问题？
• RQ3 奇异摄动在替代遍历定理以实现半鞅特征收敛中起到什么作用？
• RQ4 极限过程的形式是什么？其漂移、扩散和跳跃成分如何表征？
• RQ5 在何种条件下，ξ^ε 的半鞅表示满足相对紧致性与收敛性？

主要发现

• ξ^ε 的半鞅表示满足紧致包含条件（CCC）与矩界，确保了相对紧致性。
• 由于生成元的奇异摄动问题的解，半鞅的预测特征实现了收敛。
• 极限过程 ξ⁰(t) 是一个马尔可夫过程，其预测特征为：B⁰(t) = ∫₀ᵗ b(ξ⁰(s))ds，C⁰(t) = ∫₀ᵗ c(ξ⁰(s))ds，以及 Γ⁰_g(t) = ∫₀ᵗ Γ_g(ξ⁰(s))ds。
• 极限过程的有效生成元为 ℒ̂ = B̂，其漂移系数 b̂ 通过对快速马尔可夫切换过程进行平均得到。
• 在条件 C1–C4 下，当 ε → 0 时，ξ^ε(t) ⇒ ξ⁰(t) 的收敛性得以确立，包括初始值的统一可积性与有界性。
• 最终收敛结果由 Jacod 和 Shiryaev（2003）的定理 IX.3.27 推出，所有必要条件——紧致性、控制性与特征收敛性——均已验证。