[论文解读] Poisson cohomology and quantization

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 30被引用 11

一句话总结

本文通过在Kähler微分模上构造一个(R,A)-李代数结构，为交换环R上的泊松代数的泊松上同调与同调建立了一个统一的代数框架。它推广了经典泊松上同调与泊松流形的典范同调，将其识别为微分算子代数上的Ext与Tor群，并引入了一个闭2-形式（泊松类），该形式推广了辛形式类，使线性表示的构造成为可能，这对量子理论中的量子化至关重要。

ABSTRACT

Let R be a commutative ring, and let A be a Poisson algebra over R. We construct an (R,A)-Lie algebra structure, in the sense of Rinehart, on the A-module of Kähler differentials of A depending naturally on A and the Poisson bracket. This gives rise to suitable algebraic notions of Poisson homology and cohomology for an arbitrary Poisson algebra. A geometric version thereof includes the canonical homology and Poisson cohomology of a Poisson manifold introduced by Brylinski, Koszul, and Lichnerowicz, and absorbes the latter in standard homological algebra by expressing them as Tor and Ext groups, respectively, over a suitable algebra of differential operators. Furthermore, the Poisson structure determines a closed 2-form in the complex computing Poisson cohomology. This 2-form generalizes the 2-form defining a symplectic structure on a smooth manifold; moreover, the class of that 2-form in Poisson cohomology generalizes the class in de Rham cohomology of a symplectic structure on a smooth manifold and appears as a crucial ingredient for the construction of suitable linear representations of A, viewed as a Lie algebra; representations of this kind occur in quantum theory. To describe this class and to construct the representations, we relate formal concepts of connection and curvature generalizing the classical ones with extensions of Lie algebras. We illustrate our results with a number of examples of Poisson algebras and with a quantization procedure for a relativistic particle with zero rest mass and spin zero.

研究动机与目标

• 为任意交换环R上的泊松代数发展一个泊松上同调与同调的通用代数理论。
• 利用微分算子代数上的同调代数，推广泊松流形的典范同调与泊松上同调的概念。
• 将泊松类识别为泊松上同调中的闭2-形式，该形式推广了辛形式的de Rham类。
• 通过广义曲率与联络概念，构造泊松代数作为李代数的线性表示。
• 将该框架应用于自旋为零、静质量为零的相对论性粒子的量子化过程。

提出的方法

• 在A-模Kähler微分D_A上构造(R,A)-李代数结构，利用泊松括号。
• 将泊松上同调定义为(R,A)-李代数D_{{·,·}}上的交错A-多重线性形式复形的同调。
• 在泊松上同调复形中引入一个典范的闭2-形式π_{{·,·}}，代表泊松类。
• 通过广义联络与曲率概念，将泊松类与李代数扩张联系起来。
• 利用泊松类构造泊松代数作为李代数的线性表示。
• 将该框架应用于相对论性粒子模型，通过希尔伯特空间上特定表示推导出量子可观测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为交换环上的任意泊松代数代数地定义泊松上同调与同调？
• RQ2 泊松类如何在de Rham上同调中推广辛形式类？
• RQ3 能否利用李代数扩张中的广义联络与曲率来构造泊松代数的表示？
• RQ4 所提出的框架如何将经典泊松上同调与微分算子代数上的标准同调代数统一起来？
• RQ5 该代数结构能否产生物理上有意义的相对论性系统（如自旋为零的粒子）的量子化？

主要发现

• 泊松代数(A, {·,·})的泊松上同调同构于Ext^*_{U(A,L)}(A,A)，其中U(A,L)是与(R,A)-李代数L = D_{{·,·}}相关的微分算子的普遍代数。
• 泊松类[π_{{·,·}}] ∈ H^2_{Poisson}(A, {·,·}; A)推广了流形上辛形式的de Rham类[σ]。
• 闭2-形式π_{{·,·}}自然地由泊松括号构造而成，并在上同调复形中定义了一个类似曲率的不变量。
• 通过泊松类与广义联络理论，构造了泊松代数作为李代数的线性表示。
• 对于自旋为零、静质量为零的相对论性粒子，该构造在希尔伯特空间上产生自伴算子，当完备时，哈密顿向量场诱导酉演化。
• 通过公式ĥa[ϕ] = [â e^{−i⟨·,·⟩}]，可观测量如洛伦兹提升与角动量分量被实现为量子化，其中â是源自泊松括号的微分算子。