[论文解读] Poisson cohomology of a class of log symplectic manifolds

Melinda Lanius|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过刚性化代数群方法，计算了一类具有横截超曲面的对数辛流形的泊松上同调，推广了 b-辛上同调。关键结果表明，泊松上同调可分解为除数交点的直和，结合了由典范线丛定义的扭曲上同调项，扩展了已知的 b-辛结构结果。

ABSTRACT

We compute the Poisson cohomology of a class of Poisson manifolds that are symplectic away from a collection $D$ of hypersurfaces. These Poisson structures induce a generalization of symplectic and cosymplectic structures, which we call a k-cosymplectic structure, on the intersection of hypersurfaces in $D$.

研究动机与目标

• 计算具有法向交叉除数 D 的对数辛流形的泊松上同调，推广已知的 b-辛结构结果。
• 将奇异超曲面上的共辛结构推广至对数辛设定中更高余维的交点。
• 通过刚性化代数群发展一个上同调框架，以处理由对数辛形式诱导的奇异泊松结构。
• 以基本胞腔的德拉姆上同调与除数交点上的扭曲上同调为依据，明确泊松上同调的分解形式。

提出的方法

• 使用刚性化代数群构造，通过具有法向交叉除数 D 的流形上的 b-切丛的李代数群上同调来建模泊松上同调。
• 应用 [6] 中的李代数群上同调同构，将 b-上同调表示为除数分量交点的直和。
• 对除数分量的定义函数引入对对数微分形式复形的滤子，实现交点处上同调的归纳计算。
• 通过改变除数分量定义函数的变量论证，证明上同调类在坐标变换下的不变性。
• 通过分析除数交点附近局部模型中微分算子的核与像，推导出对数辛复形的上同调。
• 证明泊松上同调可分解为所有可能的除数分量交点之和，每一分量上的项包含该流形上的扭曲上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有法向交叉除数 D 的对数辛流形的泊松上同调，如何分解为流形本身及其各流形的上同调？
• RQ2 在对数辛设定中，除数分量的横截交点上，共辛结构的何种推广形式出现？
• RQ3 泊松上同调能否通过 b-切丛上的李代数群结构计算？与 b-辛情形相比有何异同？
• RQ4 除数交点上的典范线丛在对数辛泊松结构的上同调分解中起何种作用？
• RQ5 除数分量定义函数的变化如何影响泊松复形中的上同调类？

主要发现

• 对数辛流形的泊松上同调同构于流形的德拉姆上同调与除数交点格中所有流形上扭曲上同调群的直和。
• 对于由除数分量交点定义的每个流形，上同调包含涉及该流形余法丛对偶的项，具体为每个分量的 |N^*Z|^{-1}。
• 上同调分解包括所有可能的除数分量子集的贡献，总度数偏移取决于每个交点中涉及的分量数量与类型。
• 每个流形上的上同调在除数分量定义函数的变换下保持不变，确保了其几何结构的良定义性。
• 最终结果将 b-辛上同调公式 H^p_π(M) ≃ H^p(M) ⊕ H^{p-1}(Z) 推广为所有除数交点上的完整分解，包含扭曲系数。
• 上同调由如下公式完全刻画：^bH^p(M) ≃ H^p(M) ⊕ ⨁_{I,J,K,L} H^{p-m}(∩Z; ⊗|N^*Z|^{-1})，其中 m = 2|I| + |J| + |K| + |L|，且 I,J,K,L 为满足 I ≠ ∅ 且 I ∩ J = I ∩ K = ∅ 的指标集。