[论文解读] Poisson orders, symplectic reflection algebras and representation theory

Kenneth A. Brown, Iain J. Gordon|ArXiv.org|Jan 7, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文引入了泊松阶（Poisson orders）——一类统一了辛反射代数、单位根处的量子群以及受限包络代数的代数类，将它们的表示理论与泊松几何联系起来。关键结果表明，泊松阶的不可约表示在其中心的辛核心上是常值的，且在相同核心上的特征映射纤维彼此同构，从而实现了全局阿刍马依层结构。

ABSTRACT

We introduce a new class of algebras called Poisson orders. This class includes the symplectic reflection algebras of Etingof and Ginzburg, many quantum groups at roots of unity, and enveloping algebras of restricted Lie algebras in positive characteristic. Quite generally, we study this class of algebras from the point of view of Poisson geometry, exhibiting connections between their representation theory and some well-known geometric constructions. As an application, we employ our results in the study of symplectic reflection algebras, completing work of Etingof and Ginzburg on when these algebras are finite over their centres, and providing a framework for the study of their representation theory in the latter case.

研究动机与目标

• 通过新的代数框架统一辛反射代数、单位根处的量子群以及受限包络代数的表示理论。
• 通过泊松阶的概念，在表示理论与泊松几何之间建立几何桥梁。
• 解决辛反射代数何时关于其中心有限的问题，完成Etingof与Ginzburg的工作。
• 表征辛反射代数中心的辛叶与分层结构，特别是退化情形下的情况。
• 为通过辛核心与这些层上的阿刍马依代数研究表示提供几何框架。

提出的方法

• 将泊松阶定义为仿射C-代数，有限生成于中心子代数Z₀，配备导子映射D: Z₀ → Der_C(A)，使得Z₀成为一个泊松代数。
• 在极大谱Z = Maxspec Z₀上引入三种分层：秩分层、辛核心与辛叶。
• 证明泊松阶A的不可约表示映射到Z中的同一辛核心，且若x与y位于同一核心，则纤维代数A_x与A_y同构。
• 在每个辛核心上构造全局阿刍马依代数层，推广了关于单位根处量子函数代数的早期结果。
• 利用关联分次代数上的C*-作用，将Z₀上的泊松结构与Z_c在c ∈ A^r处的辛叶联系起来。
• 将这些结果应用于辛反射代数，表明当其关于中心有限时，其中心同构于C；否则不关于中心有限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，辛反射代数关于其中心是有限的，且其中心同构于C？
• RQ2 泊松阶中心中的辛核心如何影响其不可约表示的结构？
• RQ3 辛反射代数中心上的泊松括号何时能通过辛叶实现代数分层？
• RQ4 泊松阶的表示理论能否通过辛核心上的阿刍马依代数层实现全局描述？
• RQ5 在t ≠ 0时，辛反射代数的理想理论在多大程度上能通过关联分次结构与t = 0情形下的理想相关联？

主要发现

• 对于任意辛反射代数A_c（c ∈ A^r），Z_c的辛叶恰好是秩分层的不可约分支的光滑点。
• 对于辛反射代数，辛核心分层与辛叶分层一致，意味着在此情况下泊松括号是代数的。
• 当辛反射代数关于其中心有限时，其中心同构于C；否则不关于中心有限。
• 泊松阶A的不可约表示在辛核心上是常值的：若x与y位于同一核心，则A_x ≅ A_y作为有限维代数。
• 纤维代数A_x的同构类型仅依赖于x的辛核心，从而可为每个核心构造一个阿刍马依代数层。
• 在斜群代数O(V)*Γ的退化情形下，辛叶被完全描述，回答了文献[1]提出的问题。