[论文解读] Poisson Process Partition Calculus with applications to Exchangeable models and Bayesian Nonparametrics

Lancelot F. James|ArXiv.org|May 9, 2002

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 76被引用 97

一句话总结

本文提出了一种基于划分的泊松过程富比尼微积分，用于推导可交换随机测度的显式后验分布和矩公式，特别扩展了中国餐馆过程和两参数狄利克雷-泊松过程模型。该方法通过指数测度变换技术和混合表示，为贝叶斯非参数推断提供了一个统一框架，揭示了狄利克雷过程和广义伽马过程的新表征形式，并推广了马尔可夫-克雷因对应关系。

ABSTRACT

This article discusses the usage of a partiton based Fubini calculus for Poisson processes. The approach is an amplification of Bayesian techniques developed in Lo and Weng for gamma/Dirichlet processes. Applications to models are considered which all fall within an inhomogeneous spatial extension of the size biased framework used in Perman, Pitman and Yor. Among some of the results; an explicit partition based calculus is then developed for such models, which also includes a series of important exponential change of measure formula. These results are applied to obtain results for Levy-Cox models, identities related to the two-parameter Poisson-Dirichlet process and other processes, generalisations of the Markov-Krein correspondence, calculus for extended Neutral to the Right processes, among other things.

研究动机与目标

• 开发一种针对非齐次泊松过程的系统性基于划分的富比尼微积分，以简化可交换随机测度的后验推断。
• 将布莱克斯韦尔-麦克奎恩瓮模型和中国餐馆过程推广至空间和非齐次设置。
• 为大小加权和归一化随机测度（包括两参数泊松-狄利克雷过程和狄利克雷过程）推导显式后验分布和矩公式。
• 通过布朗运动桥理论中的缩放操作，统一并扩展狄利克雷过程线性泛函的马尔可夫-克雷因对应关系。
• 在空间非齐次框架下定义并分析一类扩展的“对右中性”(NTR)过程，实现新的计算与理论结果。

提出的方法

• 利用拉普拉斯泛函测度变换和基于划分的富比尼表示，将后验计算重新表述为整数划分上的求和。
• 将该框架应用于皮特曼、珀尔曼和约尔(1992)提出的大化权重框架的非齐次空间扩展，从而实现对一般Lévy-Cox移动平均模型的分析。
• 通过涉及泊松过程强度测度的混合表示，推导出两参数泊松-狄利克雷分布的EPPF（埃文斯抽样公式）的显式表达式。
• 引入布朗运动桥理论中的缩放操作，以生成随机测度的新混合表示和后验表征。
• 将该方法应用于归一化过程和Poisson-Kingman模型，推导其后验分布，表明在给定划分结构下，唯一值条件独立。
• 使用指数测度变换技术，简化空间Lévy-Cox过程和泊松噪声过程中的原本难以处理的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用基于划分的富比尼微积分，在空间非齐次设置下推导可交换随机测度的显式后验分布？
• RQ2 布朗运动桥理论中的缩放操作对随机测度后验表征的结构含义是什么？
• RQ3 如何通过泊松过程划分微积分推广狄利克雷过程线性泛函的马尔可夫-克雷因对应关系？
• RQ4 在空间框架下，扩展的“对右中性”过程的后验矩公式和表征是什么？
• RQ5 是否能通过泊松过程技术系统性地扩展中国餐馆过程，以处理一般强度率混合模型和泊松噪声过程？

主要发现

• 为非齐次泊松过程模型开发了一种显式的基于划分的微积分，得到了两参数泊松-狄利克雷分布EPPF的闭式表达式。
• 本文推导出PD(α,θ)过程后验分布的新混合表示，表明在给定划分下，唯一值在先验下条件独立同分布。
• 推导出一个通用的指数测度变换公式，简化了空间Lévy-Cox移动平均模型和泊松噪声过程的分析。
• 证明了归一化过程的后验分布可按划分分解，每个聚类的取值条件分布遵循加权似然更新。
• 该方法为扩展的NTR过程提供了清晰的后验分布推导，包括相对于标准贝塔或狄利克雷过程的绝对连续性结果。
• 该框架导出了线性泛函的联合拉普拉斯泛函和柯西-斯蒂尔杰斯变换的新恒等式，将马尔可夫-矩问题推广至无穷维测度。