[论文解读] Poisson reduction as a coisotropic intersection

Pavel Safronov|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2015

Algebraic structures and combinatorial models被引用 11

一句话总结

本文引入了在移位泊松代数中导出的共厄子态射概念，表明此类态射的导出交集继承了一个低一阶的泊松结构。它建立了经典BRST复形（用于泊松约化）与计算共厄交集的复形之间的拟同构，并通过括号代数及其模将该结果推广至量子版本。

ABSTRACT

We give a definition of coisotropic morphisms of shifted Poisson (i.e. $P_n$) algebras which is a derived version of the classical notion of coisotropic submanifolds. Using this we prove that an intersection of coisotropic morphisms of shifted Poisson algebras carries a Poisson structure of shift one less. Using an interpretation of Hamiltonian spaces as coisotropic morphisms we show that the classical BRST complex computing derived Poisson reduction coincides with the complex computing coisotropic intersection. Moreover, this picture admits a quantum version using brace algebras and their modules: the quantum BRST complex is quasi-isomorphic to the complex computing tensor product of brace modules.

研究动机与目标

• 定义移位泊松代数的共厄子态射，作为经典共厄子流形的导出推广。
• 证明两个共厄子态射的导出交集携带一个低一阶的泊松结构。
• 建立用于导出泊松约化的BRST复形与计算共厄交集的复形之间的拟同构。
• 通过括号代数及其模，将经典图像推广至量子设定。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{P}_{n+1}$-态射 $A \to \mathrm{Z}(B)$ 建模共厄结构，其中 $\mathrm{Z}(B)$ 是 $B$ 的导出泊松中心。
• 利用科什乌尔对偶性，将导出张量积 $B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$ 与对偶侧的非导出余张量积联系起来。
• 应用巴复形构造，定义具有诱导 $\mathbb{P}_n$-结构的 $\mathbb{P}_{n+1}$-代数的科什乌尔对偶余代数。
• 利用 $\mathrm{Z}(B)$ 上的施陶滕括号，显式定义导出中心上的 $\mathbb{P}_{n+1}$-结构。
• 将BRST复形构造为哈密顿约化中导出商的解消，将其识别为共厄交集复形。
• 应用 $\hbar=0$ 极限，从 $\widehat{\mathbb{BD}}_0$-结构在巴复形上的量子 $\widehat{\mathbb{BD}}_0$-结构恢复经典 $\mathbb{P}_0$-结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将共厄子流形推广至移位泊松代数的导出设定？
• RQ2 两个共厄子态射的导出交集继承何种结构？
• RQ3 用于导出泊松约化的BRST复形是否与计算共厄交集的复形拟同构？
• RQ4 能否通过括号代数将经典共厄交集图像提升至量子设定？
• RQ5 在移位泊松结构背景下，泊松中心构造如何与科什乌尔对偶余代数相关联？

主要发现

• 当 $A$ 是 $\mathbb{P}_{n+1}$-代数时，两个共厄子态射 $A \to B_1$ 与 $A \to B_2$ 的导出交集 $B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$ 携带一个同伦 $\mathbb{P}_n$-结构。
• 自然投影 $B_1^{\mathrm{op}} \otimes B_2 \to B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$ 是一个 $\mathbb{P}_n$-态射。
• 哈密顿约化中BRST复形与计算时刻映射态射共厄交集的复形之间拟同构。
• 量子BRST复形与计算 $\mathbb{BD}_1$-代数上括号模张量积的复形之间拟同构。
• $\widehat{\mathbb{BD}}_0$-结构在双侧巴复形上的 $\hbar=0$ 极限恢复了定理1.18中的经典 $\widehat{\mathbb{P}}_0$-结构。
• $\mathrm{Z}(B)$ 的构造方式 $\mathrm{Hom}(\mathrm{co}\mathbb{BD}_1(B), B)$ 通过 $\mathbb{BD}_1$-结构扭量化，为导出泊松中心提供了明确实现。