[论文解读] Poisson Reduction of Controlled Hamiltonian System by Controllability Distribution

Tudor S. Raţiu, Hong Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于可控制性分布的受控哈密顿（CH）系统新型泊松约化框架，将经典泊松约化推广至含外部力和控制输入的系统。该文建立了泊松约化可实现的条件，证明了在CH等价性下不变性，并为具有对称性的CH系统发展了奇异泊松约化定理，阐明了通过G-不变分布的约化与在约化空间上约化的关联。

ABSTRACT

In this paper, we first study the Poisson reductions of controlled Hamiltonian (CH) system and symmetric CH system by controllability distributions. These reductions are the extension of Poisson reductions by distribution for Poisson manifolds to that for phase spaces of CH systems with external force and control. We give Poisson reducible conditions of CH system by controllability distribution, and prove that the Poisson reducible property for CH systems leaves invariant under the CH-equivalence. Moreover, we study the Poisson reduction of symmetric CH system by G-invariant controllability distribution. Next, we consider the singular Poisson reduction and SPR-CH-equivalence for CH system with symmetry, and prove the singular Poisson reduction theorem of CH system. We also study the relationship between Poisson reduction for singular Poisson reducible CH systems by G-invariant controllability distribution and that for associated reduced CH system by reduced controllability distribution. At last, some examples are given to state the theoretical results.

研究动机与目标

• 将泊松约化理论从泊松流形推广至含外部力和控制输入的受控哈密顿（CH）系统的相空间。
• 识别出受控哈密顿系统通过可控制性分布实现泊松约化的必要且充分条件。
• 证明泊松约化性质在CH等价性下保持不变，确保在等价系统间具有结构一致性。
• 为具有G-不变可控制性分布的对称CH系统发展奇异泊松约化理论。
• 阐明通过G-不变分布对奇异CH系统进行泊松约化，与对其关联的约化CH系统通过约化后分布进行约化的关联。

提出的方法

• 在余切丛的切丛 $TT^*Q|_W$ 上使用广义分布，且限制于控制子集 $W \subset T^*Q$。
• 将可控制性分布 $D \subset TT^*Q|_W$ 作为关键几何结构，用于定义约化过程。
• 应用马尔斯登-拉蒂乌约化框架，该框架已适配泊松流形，并进一步扩展以包含控制系统。
• 引入SPR-CH等价性（奇异泊松约化-CH等价性）的概念，以在系统等价下保持约化性质。
• 建立原始CH系统奇异泊松约化与通过约化后可控制性分布对关联约化系统进行约化的对应关系。
• 将理论应用于具体实例，包括具有群对称性的系统，以验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，受控哈密顿系统可通过可控制性分布实现泊松约化？
• RQ2 在所提出的约化框架下，CH等价性如何保持泊松约化性质？
• RQ3 具有$G$-不变可控制性分布的对称CH系统的奇异泊松约化结构为何种形式？
• RQ4 通过约化后可控制性分布，奇异CH系统与其关联约化系统之间的泊松约化关系如何？
• RQ5 所提出的约化框架是否可应用于缺乏动量映射的系统，此时标准辛或辛约化方法失效？

主要发现

• 本文通过可控制性分布建立了CH系统泊松约化的条件集，将经典泊松约化推广至受控系统。
• 证明了泊松约化性质在CH等价性下保持不变，确保了在等价控制系统间约化结构的鲁棒性。
• 为具有$G$-不变可控制性分布的对称CH系统证明了奇异泊松约化定理，将约化推广至奇异与非正则情形。
• 严格刻画了原始CH系统与关联约化系统之间泊松约化的关联，表明两种约化过程具有兼容性。
• 通过示意性实例验证了理论结果，展示了该框架在航天器带内部转子及带转子的水下航行器等机械控制系统的适用性。
• 当动量映射不存在时，该框架为基于动量映射的约化提供了一种可行替代方案，拓展了控制系统中几何约化的适用范围。