[论文解读] Poisson's formula with principal value integrals and some special Gradshteyn and Ryzhik integrals

Khristo N. Boyadzhiev|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文将泊松积分公式推广至右半平面中的主值积分，实现了对格拉德施泰因与里兹赫克积分表中特定积分的高效计算。文中提出一种适用于主值积分的改进泊松公式，并将其应用于若干非平凡情形，为原本难以求解的积分提供了闭式结果。

ABSTRACT

Poisson's integral formula for holomorphic functions on the right half plane can be used to quickly evaluate certain integrals from Gradshteyn and Ryzhik's table. In addition we prove a version of Poisson's formula for principal value integrals and use it in several interesting cases.

研究动机与目标

• 将泊松积分公式推广至右半平面中的主值积分。
• 为计算格拉德施泰因与里兹赫克积分表中某些具有挑战性的积分提供系统性方法。
• 通过具体应用到特殊积分，展示扩展公式的实用性。

提出的方法

• 推导适用于右半平面主值积分的泊松公式变体。
• 将扩展后的公式应用于格拉德施泰因与里兹赫克积分表中已知的特定积分进行计算。
• 利用全纯函数的性质与围道积分技巧，证明主值公式的合理性。
• 借助已知的积分恒等式，验证新公式所得结果的正确性。
• 通过若干非平凡实例演示该方法，以说明其有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 泊松积分公式能否推广至处理右半平面中的主值积分？
• RQ2 该推广公式如何用于计算格拉德施泰因与里兹赫克积分表中的积分？
• RQ3 哪些类型的积分最受益于泊松公式的这一扩展？

主要发现

• 推导出一种适用于右半平面主值积分的新版泊松公式。
• 扩展后的公式可直接计算格拉德施泰因与里兹赫克积分表中原本难以求解的某些积分。
• 通过解析延拓与留数法，该方法为多个特殊积分提供了闭式解。
• 在已知积分恒等式上的应用表明，该方法具有一致性与正确性。