[论文解读] Poisson stable solutions for stochastic differential equations with Lévy noise

Xin Liu, Zhenxin Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文建立了具有大跳跃的无限维 Lévy 扰动的半线性随机微分方程的 Poisson 稳定解（如周期解、几乎周期解和 Levitan 几乎周期解）的存在性与全局渐近稳定性。在漂移、扩散和跳跃系数满足 Lipschitz 条件与线性增长条件的前提下，作者证明了解继承了系数的 Poisson 稳定性，并在平方均值意义下全局收敛。

ABSTRACT

In this paper, we use a unified framework to study Poisson stable (including stationary, periodic, quasi-periodic, almost periodic, almost automorphic, Birkhoff recurrent, almost recurrent in the sense of Bebutov, Levitan almost periodic, pseudo-periodic, pseudo-recurrent and Poisson stable) solutions for semilinear stochastic differential equations driven by infinite dimensional Lévy noise with large jumps. Under suitable conditions on drift, diffusion and jump coefficients, we prove that there exist solutions which inherit the Poisson stability of coefficients. Further we show that these solutions are globally asymptotically stable in square-mean sense. Finally, we illustrate our theoretical results by several examples.

研究动机与目标

• 建立具有无限维 Lévy 噪声的随机微分方程的 Poisson 稳定解（包括周期解、几乎周期解、几乎殆周期解和 Levitan 几乎周期解）的存在性。
• 研究当系数表现出递推性时，Lévy 噪声中的大跳跃是否可能破坏解的 Poisson 稳定性。
• 证明解的 Poisson 稳定性由系数中最强的递推性质决定。
• 证明这些 Poisson 稳定解在平方均值意义下的全局渐近稳定性。
• 将现有关于高斯噪声驱动 SDE 的结果推广至更一般的 Lévy 噪声情形，包括大跳跃的情形。

提出的方法

• 基于 B. A. Shcherbakov 的可比较（强可比较）方法，构建统一框架以分析动力系统中的递推性。
• 应用 Lévy-Itô 分解，将 Lévy 过程分解为扩散分量、小跳跃分量与大跳跃分量。
• 对漂移、扩散和跳跃系数施加 Lipschitz 条件与全局线性增长条件，以确保路径存在性与唯一性。
• 运用半群理论与希尔伯特空间中的随机分析方法，研究由 Lévy 噪声驱动的抽象演化方程。
• 采用平方均值范数定义稳定性，并在适当的函数空间中应用压缩映射原理，证明存在性与唯一性。
• 引入分布意义上的 Poisson 稳定性概念，以刻画随机设定下的递推性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半线性 SDE 与无限维 Lévy 噪声存在 Poisson 稳定解？
• RQ2 尽管存在 Lévy 噪声中的大跳跃，解是否仍能继承系数的 Poisson 稳定性（如周期性、几乎周期性）？
• RQ3 系数的递推性质与解的递推行为之间存在何种关系？
• RQ4 Poisson 稳定解是否在平方均值意义下全局渐近稳定？
• RQ5 系数中最强的递推性质如何决定解的递推类型？

主要发现

• 在适当的 Lipschitz 条件与线性增长条件下，存在唯一的有界解，其在分布意义下继承了系数的 Poisson 稳定性。
• 解在平方均值意义下全局渐近稳定，如定理 5.1 所证明。
• 在例 6.1 中，若 $\nu(-1,1) < \frac{25}{16}$ 且 $b \leq 1$，则带 Lévy 噪声的随机 ODE 在分布意义下存在唯一的 Levitan 几乎周期解。
• 在例 6.2 中，带 Lévy 噪声的随机热方程存在唯一的 $\mathcal{L}^2$-有界解，该解在分布意义下为 Levitan 几乎周期解，且在平方均值意义下全局渐近稳定。
• 解的递推类型由系数 $f$、$g$、$F$ 与 $G$ 中最弱的递推性质决定，如推论 4.7 所形式化。
• 所有具有 $\mathcal{L}^2$ 初始值的解在足够长时间后均保持有界，如推论 5.2 所述。