[论文解读] Poisson Structure Induced Field Theories and Models of 1+1 Dimensional Gravity

Thomas Strobl|ArXiv.org|Nov 28, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于目标空间中泊松结构的1+1维引力模型统一框架，表明诸如杰基夫-泰特博姆、卡坦内夫-沃尔琴科以及受弦理论启发的模型等不同引力作用量，均可从一个涉及从时空到泊松流形的映射的一阶作用量中推导得出。关键贡献在于识别出能生成这些理论的通用泊松结构，从而实现一致的量子化程序，并通过规范固定和狄拉克可观测量解决了量子引力中的时间问题。

ABSTRACT

PhD thesis TU-Vienna, May 1994. Table of Contents: 1. Introduction, 2. Poisson Structure Induced Two Dimensional Field Theories, 3. Models of Gravity in 1+1 Dimensions

研究动机与目标

• 在单一几何框架下统一多种1+1维引力模型，例如杰基夫-泰特博姆、卡坦内夫-沃尔琴科以及受弦理论启发的作用量。
• 识别出能生成这些引力模型动力学的靶空间中的基本泊松结构。
• 通过将这些模型表述为泊松结构诱导的场论，发展一致的量子化程序。
• 通过实施打破微分同胚不变性的规范条件，解决量子引力中的“时间问题”，同时保持物理一致性。
• 证明可通过傅里叶变换和算符排序构造量子波函数，从而得到时间依赖的哈密顿量和物理态。

提出的方法

• 制定一般性一阶作用量：∫(Aᵢ ∧ dXⁱ + ½Pⁱʲ(X)Aᵢ ∧ Aⱼ)，其中Xⁱ将时空映射到具有泊松张量P的泊松流形。
• 表明线性泊松结构产生杨-米尔斯型理论，而二次结构则重现已知的二维引力作用量，包括卡坦内夫-沃尔琴科模型。
• 实施规范条件如X₊ = 1、X₃ = τ和∂e₁⁻ = 0，以打破微分同胚不变性并定义物理时间演化。
• 通过约束的傅里叶变换推导B极化下的量子波函数，确保与狄拉克可观测量的一致性。
• 应用源自傅里叶变换的算符排序，避免量子反常并确保约束的非平凡核。
• 通过有效哈密顿量构造时间演化，包括−(γ²/2)∫trE²dx¹ − β²π²τ²/p₂²等项，表明量子理论中存在显式时间依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于泊松结构，在单一几何框架下统一多种1+1维引力模型？
• RQ2 靶空间中的泊松张量如何决定不同二维引力作用量的动力学？
• RQ3 规范固定在解决量子引力中时间问题方面起到什么作用？
• RQ4 在存在约束和微分同胚不变性的情况下，如何构造一致的量子波函数？
• RQ5 在无固定背景的情况下，量子哈密顿量的结构如何？其时间演化特征是什么？

主要发现

• 一般作用量∫(Aᵢ ∧ dXⁱ + ½Pⁱʲ(X)Aᵢ ∧ Aⱼ)通过不同选择泊松张量P，统一了多种二维引力模型，包括杰基夫-泰特博姆和卡坦内夫-沃尔琴科模型。
• 通过约束的傅里叶变换导出的量子波函数，如Ψ ∝ exp[i/ℏ ∫(E₃∂φ + ...)]，与全部量子约束一致，并产生非平凡的物理态。
• 作用于波函数的有效哈密顿量包含与β²π²τ²/p₂²成正比的时间依赖项，表明量子理论中存在显式时间演化。
• 源自傅里叶变换的算符排序保持了约束代数，避免了量子反常，而其他排序方式则导致空核。
• 规范条件∂e₁⁻ = 0可在B极化中作为算符条件实现，但∮e₁⁻ = const在此表示中不可行。
• 当β → 0时，恢复标准的圆柱面上的杨-米尔斯理论，确认该方法在无引力情况下的已知结果一致性。