[论文解读] Poisson structure on moduli of flat connections on Riemann surfaces and $r$-matrix

V. V. Fock, A. A. Rosly|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 1998

Black Holes and Theoretical Physics被引用 48

一句话总结

该论文通过带刺的双胞胎图和晶格 gauge 理论，在具有边界的黎曼曲面上的平坦 G-丛模空间上建立了泊松结构。它在图连接空间上构造了一个泊松-李结构，使得商空间在规范群作用下恢复模空间，从而得到一个与 R-矩阵形式兼容的规范泊松结构，并为通过 WZNW 伴随块进行量子化提供了框架。

ABSTRACT

We consider the space of graph connections (lattice gauge fields) which can be endowed with a Poisson structure in terms of a ciliated fat graph. (A ciliated fat graph is a graph with a fixed linear order of ends of edges at each vertex.) Our aim is however to study the Poisson structure on the moduli space of locally flat vector bundles on a Riemann surface with holes (i.e. with boundary). It is shown that this moduli space can be obtained as a quotient of the space of graph connections by the Poisson action of a lattice gauge group endowed with a Poisson-Lie structure. The present paper contains as a part an updated version of a 1992 preprint ITEP-72-92 which we decided still deserves publishing. We have removed some obsolete inessential remarks and added some newer ones.

研究动机与目标

• 通过图连接，为具有孔洞的黎曼曲面上平坦 G-丛的模空间提供一个有限维、可计算的描述。
• 在图连接空间上定义一个与规范群上的泊松-李结构相容的泊松结构。
• 证明图连接在规范变换下的商空间可恢复为具有明确定义泊松结构的平坦连接模空间。
• 建立泊松结构与经典 r-矩阵之间的联系，从而通过 WZNW 理论实现量子化。
• 提供一个适合于量子化的几何与代数框架，基于早期工作并更新以适应现代应用。

提出的方法

• 将带有孔洞的黎曼曲面表示为带刺的双胞胎图，其中顶点具有相邻边的循环序，面对应于边界。
• 将图连接定义为对有向边赋值群元素，形成微分同胚于 G^E 的有限维流形。
• 使用 r-矩阵形式在图连接空间上引入泊松二阶张量，具体通过 gl(k) 的经典 r-矩阵及作用于边端的生成元实现。
• 构造规范群上的泊松-李结构，使得其在图连接上的作用为泊松作用，从而实现向模空间的约化。
• 利用规范不变性通过在子流形（例如对角矩阵 A）上消失的项来修改泊松二阶张量，从而在规范不变函数上保持括号不变。
• 推导出典型变量（如 λ_i 和 s_i）之间的显式泊松括号，表明其产生 Ruijsenaars 哈密顿量，并与可积系统保持一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过有限维图连接来描述具有边界的黎曼曲面上平坦 G-丛模空间？
• RQ2 在图连接空间上，何种泊松结构使得规范群作用相对于泊松-李结构为泊松？
• RQ3 在商空间（即模空间）上得到的泊松结构如何与经典 r-矩阵形式相关联？
• RQ4 能否通过尊重对角规范选择的修改二阶张量，显式计算规范不变函数之间的泊松括号？
• RQ5 所构造的泊松结构是否导致一个哈密顿系统，其哈密顿量与 Ruijsenaars-Schneider 模型一致？

主要发现

• 具有孔洞的黎曼曲面上平坦 G-丛的模空间微分同胚于平坦图连接空间在规范群作用下的商空间。
• 图连接空间在 gl(k) 的经典 r-矩阵作用下具有泊松结构，其显式二阶张量表达式涉及边端生成元。
• 规范群作为泊松-李群作用，其作用的动量映射由 μ(A,B) = ABA⁻¹B⁻¹ 给出。
• 规范不变函数之间的泊松括号可通过修改后的二阶张量计算，该张量在商空间上保持括号不变，从而在 A 为对角矩阵的子流形上简化计算。
• 典型变量 λ_i 和 s_i 满足 {λ_i, s_j} = λ_i s_j δ_ij 与 {s_i, s_j} = 0，由此导出的哈密顿量 H = ∑(s_i + s_i⁻¹) × 乘积因子，与 Ruijsenaars 哈密顿量一致。
• 泊松二阶张量的行列式被显式计算为 det B = x^{n(n-1)/2} ∏_i q_i ∏_{i≠j} (λ_i - λ_j)/(xλ_i - λ_j)，确认在单位元附近非退化。