[论文解读] Poisson structures and generalized Kahler structures

Ryushi Goto|ArXiv.org|Dec 17, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了，任意紧致凯勒流形上具有非平凡泊松结构的全纯泊松子流形，可通过由泊松张量诱导的广义复结构的形变，继承广义凯勒结构。关键结果是双厄米特结构的形变无阻碍，其无穷小形变由类 $[\beta \cdot \omega] \in H^{0,1}(X, T^{1,0})$ 控制，证明阻碍类 $[\beta \cdot \omega, \beta \cdot \omega] = 0$。该构造从泊松几何中产生非平凡的广义凯勒子流形例子。

ABSTRACT

Let X be a compact Kahler manifold with a non-trivial holomorphic Poisson structure. Then there exist deformations of non-trivial generalized Kahler structures with one pure spinor on X. We prove that every Poisson submanifold of X is a generalized Kahler submanifold with respect to the deformed generalized Kahler structures and provide non-trivial examples of generalized Kahler submanifolds arising as holomorphic Poisson submanifolds. We also obtain unobstructed deformations of bi-Hermitian structures constructed from Poisson structures.

研究动机与目标

• 建立紧致凯勒流形上具有全纯泊松结构的泊松子流形与广义凯勒子流形之间的对应关系。
• 证明由泊松张量诱导的广义凯勒结构形变是无阻碍的。
• 表明双厄米特结构的无穷小形变来源于类 $[\beta \cdot \omega] \in H^{0,1}(X, T^{1,0})$。
• 通过全纯泊松子流形构造广义凯勒子流形的非平凡例子，例如 $\mathbb{C}P^3$ 中次数 $d \leq 3$ 的超曲面。

提出的方法

• 通过全纯泊松张量 $\beta$ 在紧致凯勒流形上的作用，构造广义复结构 $\{\mathcal{J}_{\beta t}\}$ 的形变。
• 利用文献 [12] 中的稳定性定理，通过霍奇与莱夫谢茨分解，获得具有一个纯旋量的广义凯勒结构 $\{\mathcal{J}_{\beta t}, \psi_t\}$。
• 证明泊松子流形 $M$ 的法丛 $N^*$ 关于 $\mathcal{J}_{\beta t}$ 是不变的，从而保证 $M$ 继承广义凯勒结构。
• 利用广义凯勒结构与具有挠率的双厄米特结构之间的对应关系，将形变转化为复结构 $I^+(t)$ 与 $I^-(t)$ 的无穷小形变。
• 计算形变的无穷小切向量为 $Z_i^\pm(t) = Z_i \pm \overline{\beta} \cdot \overline{\theta}^i t \mod t^2$，从而导出类 $\sqrt{-1}[\beta \cdot \omega] \in H^{0,1}(X, T^{1,0})$。
• 应用障碍理论，利用舒滕括号：在 $H^{0,2}(X, T^{1,0})$ 中 $[\beta \cdot \omega, \beta \cdot \omega]$ 的消失性证明了双厄米特结构形变的无阻碍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有全纯泊松结构的紧致凯勒流形的泊松子流形是否能继承广义凯勒结构？
• RQ2 由泊松张量诱导的广义凯勒结构形变是否无阻碍？
• RQ3 相关双厄米特结构的无穷小形变类是什么？
• RQ4 在泊松诱导的广义凯勒形变下，复结构 $I^+(t)$ 与 $I^-(t)$ 如何形变？
• RQ5 在什么条件下，阻碍类 $[\beta \cdot \omega, \beta \cdot \omega]$ 在 $H^{0,2}(X, T^{1,0})$ 中消失？

主要发现

• 对于具有全纯泊松结构 $\beta$ 的紧致凯勒流形 $X$ 的任意泊松子流形 $M$，当 $t$ 较小时，其继承广义凯勒结构 $({\cal J}_{\beta t, M}, \psi_{t,M})$。
• 限制 $i_M^*\psi$ 是 $M$ 上的 $d$-闭、非退化、纯旋量，确保所诱导的结构为具有一个纯旋量的广义凯勒结构。
• 双厄米特结构 $\{I^+(t), I^-(t), h_t\}$ 的无穷小形变由 $H^{0,1}(X, T^{1,0})$ 中的类 $\sqrt{-1}[\beta \cdot \omega]$ 与 $-\sqrt{-1}[\beta \cdot \omega]$ 给出。
• 阻碍类 $[\beta \cdot \omega, \beta \cdot \omega]$ 在 $H^{0,2}(X, T^{1,0})$ 中消失，证明了双厄米特结构形变的无阻碍性。
• 非平凡的广义凯勒子流形例子可由 $\mathbb{C}P^3$ 中次数 $d \leq 3$ 的超曲面产生，这些超曲面是泊松子流形。
• 当 $X = M \times \mathbb{C}P^1$ 且 $M$ 为复环面时，阻碍消失当且仅当与全纯向量场相关的矩阵 $P$ 的秩 $\leq 1$。