[论文解读] Poisson traces and D-modules on Poisson varieties

Pavel Etingof, Travis Schedler+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文在任意泊松流形 X 上引入了一个规范的右 D-模 M(X)，将泊松迹——在哈密顿流下不变的泛函——与 M(X) 的零阶上同调联系起来。若 X 具有有限多个辛叶，则 M(X) 是正则的，这意味着 X 上泊松迹的空间是有限维的。该结果可推广至态射与泊松模，从而得到具有有限多个辛叶的泊松中心的非交换滤子代数的有限性定理。

ABSTRACT

To every Poisson algebraic variety X over an algebraically closed field of characteristic zero, we canonically attach a right D-module M(X) on X. If X is affine, solutions of M(X) in the space of algebraic distributions on X are Poisson traces on X, i.e., distributions invariant under Hamiltonian flows. When X has finitely many symplectic leaves, we prove that M(X) is holonomic. Thus, when X is affine and has finitely many symplectic leaves, the space of Poisson traces on X is finite-dimensional. As an application, we deduce that noncommutative filtered algebras whose associated graded algebras are coordinate rings of Poisson varieties with finitely many symplectic leaves have finitely many irreducible finite-dimensional representations. The appendix, by Ivan Losev, strengthens this to show that in such algebras, there are finitely many prime ideals, and they are all primitive. More generally, to any morphism phi: X -> Y and any quasicoherent sheaf of Poisson modules N on X, we attach a right D-module M_phi(X, N) on X, and prove that it is holonomic if X has finitely many symplectic leaves, phi is finite, and N is coherent. As an application, the finiteness result for irreducible representations of noncommutative filtered algebras extends to the case where the associated graded algebra is not necessarily commutative, but is finitely generated as a module over its center, which is the coordinate ring of a Poisson variety with finitely many symplectic leaves. We also describe explicitly (in the settings of affine varieties and compact smooth manifolds) the space of Poisson traces on X when X=V/G, where V is symplectic and G is a finite group acting faithfully on V. In particular, we show that this space is finite-dimensional.

研究动机与目标

• 通过在泊松流形上构建几何 D-模框架，解决泊松迹的非局部性问题。
• 在任意泊松流形 X 上建立一个规范的 D-模 M(X)，其上同调计算泊松同调 HP₀(O_X)。
• 证明当 X 具有有限多个辛叶时，M(X) 是正则的，从而保证泊松迹的有限维性。
• 将理论推广至态射 φ:X→Y 与泊松模 N，构造具有类似有限性性质的 D-模 M_φ(X,N)。
• 将结果应用于非交换代数，证明 HH₀(A) 与在泊松中心满足条件下的有限维表示的个数是有限的。

提出的方法

• 利用哈密顿向量场的李代数作用，在泊松流形 X 上构造右 D-模 M(X)。
• 对态射 φ:X→Y 与 X 上的拟相干层泊松模 N，定义 M_φ(X,N)，推广 M(X)。
• 通过 φ 的未导出直接像，将 N / {O_Y, N} 实现为相对于 Y 的泊松迹空间。
• 证明当 X 具有有限多个辛叶、φ 是有限态射且 N 是相干层时，M_φ(X) 与 M_φ(X,N) 是正则的。
• 利用正则性推导出 HP₀(O_X) 及相关空间的有限维性，基于 D-模直接像的性质。
• 借助形变理论技巧与 Rees 代数，将结果推广至滤子化量子化及其表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过局部 D-模构造来描述泊松流形上的泊松迹？
• RQ2 在泊松流形 X 的何种几何条件下，其泊松迹空间是有限维的？
• RQ3 D-模 M(X) 与泊松同调 HP₀(O_X) 有何关系？
• RQ4 对滤子化非交换代数的中心，何种有限性条件可推出有限多个有限维表示？
• RQ5 此类代数中的素理想与本原理想是否有限且性质良好？

主要发现

• 当泊松流形 X 具有有限多个辛叶时，X 上的 D-模 M(X) 是正则的，这意味着泊松迹空间是有限维的。
• 对任意有限态射 φ:X→Y 及 X 上的相干泊松模 N，若 X 具有有限多个辛叶，则 D-模 M_φ(X,N) 是正则的。
• 当 X 具有有限多个辛叶且 φ 是有限态射时，空间 O_X / {O_Y, O_X} 是有限维的，这推广了商流形的情形。
• 当 X = V/G，其中 V 是一个辛向量空间，G 是一个忠实作用的有限群时，泊松迹空间被显式描述且为有限维。
• 对滤子化非交换代数 A，若其相伴的齐次化环是其中心上的有限模，且具有有限多个辛叶，则 HH₀(A) = A/[A,A] 是有限维的。
• 在这些代数中，Ivan Losev 的附录证明了存在有限多个素理想，且所有素理想均为本原理想，包括辛反射代数在内。