[论文解读] Polar Codes: Characterization of Exponent, Bounds, and Constructions

Satish Babu Korada, Eren Şaşoğlu+1 more|ArXiv.org|Jan 5, 2009

Error Correcting Code Techniques参考文献 6被引用 32

一句话总结

本文表征了使用任意 $\ell\times\ell$ 矩阵构造的极化码的错误指数，证明了任何小于 15 阶的矩阵都无法超越原始 $2\times2$ 构造所达到的指数 $\frac{1}{2}$。本文提出了一种基于BCH码的新矩阵构造方法，可在 $\ell$ 较大时使指数任意接近 1，其中 $16\times16$ 矩阵的指数已超过 $\frac{1}{2}$，从而证明了存在优于原始设计的极化码构造。

ABSTRACT

Polar codes were recently introduced by Arıkan. They achieve the capacity of arbitrary symmetric binary-input discrete memoryless channels under a low complexity successive cancellation decoding strategy. The original polar code construction is closely related to the recursive construction of Reed-Muller codes and is based on the $2 imes 2$ matrix $\bigl[ 1 &0 1& 1 \bigr]$. It was shown by Arıkan and Telatar that this construction achieves an error exponent of $\frac12$, i.e., that for sufficiently large blocklengths the error probability decays exponentially in the square root of the length. It was already mentioned by Arıkan that in principle larger matrices can be used to construct polar codes. A fundamental question then is to see whether there exist matrices with exponent exceeding $\frac12$. We first show that any $\ell imes \ell$ matrix none of whose column permutations is upper triangular polarizes symmetric channels. We then characterize the exponent of a given square matrix and derive upper and lower bounds on achievable exponents. Using these bounds we show that there are no matrices of size less than 15 with exponents exceeding $\frac12$. Further, we give a general construction based on BCH codes which for large $n$ achieves exponents arbitrarily close to 1 and which exceeds $\frac12$ for size 16.

研究动机与目标

• 确定是否存在 $\ell\times\ell$ 矩阵，其错误指数严格大于 $\frac{1}{2}$，即原始 $2\times2$ 极化码矩阵的指数。
• 表征任意给定 $\ell\times\ell$ 矩阵的指数，并推导其可实现指数的上下界。
• 构造一类基于BCH码的矩阵族，使其在 $\ell$ 较大时指数可任意接近 1，且在 $\ell=16$ 时超过 $\frac{1}{2}$。

提出的方法

• 推导了 $\ell\times\ell$ 矩阵极化对称二元输入离散无记忆信道（B-DMCs）的必要与充分条件，表明该矩阵的任意列置换均不能为上三角矩阵。
• 提出一种基于诱导信道的巴氏参数与互信息的矩阵指数表征方法。
• 利用矩阵的部分距离来界定指数，并应用引理 26 以限制 $\ell=16$ 时最优矩阵的搜索空间。
• 从BCH码构造一类矩阵族，证明其指数随 $\ell$ 增大而趋近于 1。
• 应用定理 34 关于极端信息组合，对组合信道的互信息进行下界估计。
• 对 $16\times16$ 矩阵的候选部分距离集合进行穷举搜索，以确认所构造矩阵的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 $\ell\times\ell$ 矩阵，其错误指数严格大于 $\frac{1}{2}$，且满足 $\ell < 15$？
• RQ2 $\ell\times\ell$ 矩阵需满足何种条件，才能实现对对称B-DMCs的极化？
• RQ3 $\ell\times\ell$ 矩阵的最大可实现指数是多少？是否可使其任意接近 1？
• RQ4 是否存在一种构造性方法，用于构建错误指数超过 $\frac{1}{2}$ 的矩阵，特别是在 $\ell=16$ 时？
• RQ5 矩阵的部分距离与其极化性能及可实现指数之间有何关系？

主要发现

• 对于所有满足 $\ell < 15$ 的 $\ell\times\ell$ 矩阵，其错误指数均无法超过 $\frac{1}{2}$，这证实了原始 $2\times2$ 构造在该范围内的最优性。
• $16\times16$ 的BCH码构造矩阵实现了严格大于 $\frac{1}{2}$ 的错误指数，表明更大尺寸的矩阵可超越原始极化码设计。
• 所构造的 $16\times16$ 矩阵的部分距离为 $\{16,8,8,8,8,6,6,4,4,4,4,2,2,2,2,1\}$，且已被证明是所有 $16\times16$ 矩阵中的最优解。
• 对于任意 $\delta > 0$，存在一个矩阵尺寸 $\ell$，使得所构造的矩阵族可实现指数大于 $1 - \delta$，从而证明了可实现任意接近 1 的指数。
• 矩阵的指数受其部分距离的约束，且穷举搜索结果表明，不存在其他具有更优部分距离集合的 $16\times16$ 矩阵。
• 当构成信道为BSC时，组合信道的互信息最小，这提供了证明指数收敛于 1 的关键下界。