[论文解读] Polarized deformation quantization

Paul Bressler, J. Donin|ArXiv.org|Jul 30, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在配备复极化的辛流形上建立了极化变形量子化框架，证明了存在一个与极化相容的星积代数 $\omega$-兼容，并推导出一个精确公式，将费多索夫类 $\theta(\mathcal{A})$、极化的陈类 $c_1(P)$ 和极化子代数 $\mathcal{O}$ 的导子代数的扩张类 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ 联系起来。关键结果是恒等式 $\theta(\mathcal{A}) = \frac{1}{t}\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O}) - \frac{1}{2}c_1(P)$，该结果将卡拉贝戈夫的变量分离量子化推广到了极化情形。

ABSTRACT

Let $A$ be a star product on a symplectic manifold $(M,ω_0)$, $\frac{1}{t}[ω]$ its Fedosov class, where $ω$ is a deformation of $ω_0$. We prove that for a complex polarization of $ω$ there exists a commutative subalgebra, $O$, in $A$ that is isomorphic to the algebra of functions constant along the polarization. Let $F(A)$ consists of elements of $A$ whose commutator with $O$ belongs to $O$. Then, $F(A)$ is a Lie algebra which is an $O$-extension of the Lie algebra of derivations of $O$. We prove a formula which relates the class of this extension, the Fedosov class, and the Chern class of $P$.

研究动机与目标

• 在辛流形 $(M,\omega_0)$ 上构造一个星积代数 $\mathcal{A}$，使其与复极化 $P$ 相容。
• 定义子代数 $\mathcal{O} \subset \mathcal{A}$，使其由沿极化方向为常数的函数构成，并保持其交换性。
• 研究 Lie 代数 $F(\mathcal{A}) = \{f \in \mathcal{A} \mid [f,\mathcal{O}] \subset \mathcal{O}\}$ 及其作为 $\mathcal{O}$-扩张的导子代数 $\mathrm{Der}(\mathcal{O})$ 的结构。
• 在极化量子化背景下，推导出费多索夫类 $\theta(\mathcal{A})$、陈类 $c_1(P)$ 与扩张类 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ 之间的精确关系。

提出的方法

• 将费多索夫方法适配于在具有复极化的辛流形上构造星积，利用 Weyl 代数丛上的平坦联络。
• 引入三元组 $(M,\omega_0,P)$ 的形变 $(M,\omega,\mathcal{P})$，其中 $\mathcal{P}$ 是极化 $P$ 的形变。
• 定义极化星积 $(\mathcal{A},\mathcal{O})$，使得 $\mathcal{O}$ 由沿 $\mathcal{P}$ 为常数的函数构成，且对 $f \in \mathcal{O}$、$g \in \mathcal{A}$ 有 $f \ast g = fg$。
• 将 Lie 代数 $F(\mathcal{A})$ 构造为 $\mathcal{A}$ 中满足与 $\mathcal{O}$ 的换位子属于 $\mathcal{O}$ 的元素集合，形成 $\mathrm{Der}(\mathcal{O})$ 的 $\mathcal{O}$-扩张。
• 利用德利涅的障碍理论以及费多索夫类的 $t$-导数，将扩张类 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ 与费多索夫类 $\theta(\mathcal{A})$ 和陈类 $c_1(P)$ 联系起来。
• 对对偶代数 $\mathcal{A}^{op}$ 和 $t$-反演 $\mathcal{A}^\sigma$ 应用费多索夫构造，推导出关系式 $\theta(\mathcal{A}) = \frac{1}{t}\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O}) - c$ 中的常数项，最终确定 $c = \frac{1}{2}c_1(P)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有复极化 $P$ 的辛流形 $(M,\omega_0)$ 上，是否存在一个星积 $\mathcal{A}$，使得沿 $P$ 为常数的子代数 $\mathcal{O}$ 在星积下保持不变且仍为交换代数？
• RQ2 作为 $\mathcal{O}$-扩张的导子代数 $\mathrm{Der}(\mathcal{O})$，元素正规化 $\mathcal{O}$ 的 Lie 代数 $F(\mathcal{A})$ 的结构如何？
• RQ3 在极化量子化背景下，费多索夫类 $\theta(\mathcal{A})$、极化的陈类 $c_1(P)$ 与 $\mathcal{O}$-扩张 $F(\mathcal{A})$ 的扩张类 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ 之间的确切关系是什么？
• RQ4 扩张类 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ 能否用费多索夫类与极化陈类表示？
• RQ5 费多索夫类的 $t$-依赖性与障碍理论如何与极化量子化中扩张类的结构相关联？

主要发现

• 对于任意良极化 $P$ 及其形变 $(M,\omega,\mathcal{P})$，极化星积 $(\mathcal{A},\mathcal{O})$ 存在，且满足 $\theta(\mathcal{A}) = \frac{1}{t}[\omega]$，推广了先前对实极化的结果。
• 子代数 $\mathcal{O} \subset \mathcal{A}$ 由沿形变极化 $\mathcal{P}$ 为常数的函数构成，且星积在 $\mathcal{O}$ 上限制为交换乘积。
• 正规化 $\mathcal{O}$ 的 Lie 代数 $F(\mathcal{A})$ 构成 $\mathrm{Der}(\mathcal{O})$ 的 $\mathcal{O}$-扩张，当 $P$ 为强极化时，该扩张是局部可裂的。
• 对于强极化，扩张类 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ 在 $H^2(M, \frac{1}{t}\mathbb{C}[[t]])$ 中有定义。
• 主要公式 $\theta(\mathcal{A}) = \frac{1}{t}\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O}) - \frac{1}{2}c_1(P)$ 成立，将费多索夫类、扩张类与极化陈类联系起来。
• 该公式推广了卡拉贝戈夫的变量分离量子化，在凯勒情形下，$\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ 与卡拉贝戈夫类一致。