[论文解读] Polish spaces of Banach spaces. Complexity of isometry classes and generic properties.

Marek Cúth, Martin Doležal+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Advanced Banach Space Theory参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文通過在可數有理數向量空間上的範數與偽範數，引入並分析了可分巴拿赫空間的自然波蘭空間，將其布雷爾複雜度與戈德弗瓦與聖-雷蒙的可接受拓撲進行比較。研究結果表明，無限維希爾伯特空間的等距同構類是唯一封閉的類，並分別將 $L_p[0,1]$ 與 $\ell_p$ 空間的等距同構類表徵為 $G_\delta$-完全與 $F_{\sigma\delta}$-完全，同時對古拉里空間及其他類別提供了進一步的複雜度結果。

ABSTRACT

We present and thoroughly study natural Polish spaces of separable Banach spaces. These spaces are defined as spaces of norms, resp. pseudonorms on the countable infinite-dimensional rational vector space. We provide an exhaustive comparison of these spaces with the admissible topologies recently introduced by Godefroy and Saint-Raymond and show that Borel complexities differ little with respect to these two different topological approaches. We then focus mainly on the Borel complexities of isometry classes of the most classical Banach spaces. We prove that the infinite-dimensional Hilbert space is characterized as the unique separable infinite-dimensional Banach space whose isometry class is closed, and also as the unique separable infinite-dimensional Banach space whose isomorphism class is $F_\sigma$. For $p\in\left[1,2 ight)\cup\left(2,\infty ight)$, we show that the isometry classes of $L_p[0,1]$ and $\ell_p$ are $G_\delta$-complete and $F_{\sigma\delta}$-complete, respectively. Then we show that the isometry class of the Gurari\ui space is $G_\delta$-complete and the isometry class of $c_0$ is $F_{\sigma\delta}$-complete. The isometry class of the former space is moreover proved to be dense $G_\delta$. Additionally, we compute the complexities of many other natural classes of Banach spaces; for instance, $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-spaces, for $p,\lambda\geq 1$, are shown to be $G_\delta$, superreflexive spaces are shown to be $F_{\sigma\delta}$, and spaces with local $\Pi$-basis structure are shown to be $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$. The paper is concluded with many open problems and suggestions for a future research.

研究动机与目标

• 定義並研究在可數有理數向量空間上的範數與偽範數所構成的自然波蘭空間，以作為可分巴拿赫空間的參數空間。
• 將這些空間的布雷爾複雜度與戈德弗瓦與聖-雷蒙引入的可接受拓撲進行比較。
• 確定經典巴拿赫空間（如 $L_p[0,1]$、$\ell_p$、$c_0$ 及古拉里空間）等距同構類的布雷爾複雜度。
• 計算更廣泛的巴拿赫空間類別（包括 $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-空間、超反射空間，以及具有局部 $\Pi$-基結構的空間）的布雷爾複雜度。
• 識別一般性性質與稠密的 $G_\delta$ 等距同構類，特別是針對古拉里空間。

提出的方法

• 在可數稠密的有理數向量空間 $\mathbb{Q}^{(\mathbb{N})}$ 上定義範數與偽範數的波蘭空間，作為可分巴拿赫空間的參數空間。
• 運用描述集合論分析這些波蘭空間中等距同構類的布雷爾複雜度。
• 將基於範數的拓撲所產生的布雷爾複雜度與戈德弗瓦與聖-雷蒙的可接受拓撲所產生的複雜度進行比較。
• 應用層次分類（如 $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$、$F_{\sigma\delta}$、$G_\delta$ 與 $F_\sigma$）來表徵特定等距同構類的複雜度。
• 證明希爾伯特空間的等距同構類是唯一封閉的類，且古拉里空間的等距同構類為稠密的 $G_\delta$。
• 利用巴拿赫空間的結構性質（如局部 $\Pi$-基與超反射性）推導複雜度邊界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可分巴拿赫空間的波蘭空間中，無限維希爾伯特空間的等距同構類的布雷爾複雜度為何？
• RQ2 對於 $p \in [1,2) \cup (2,\infty)$，$L_p[0,1]$ 與 $\ell_p$ 空間的等距同構類的布雷爾複雜度如何比較？
• RQ3 古拉里空間的等距同構類是否為 $G_\delta$-完全？它在可分巴拿赫空間的波蘭空間中是否為稠密的 $G_\delta$？
• RQ4 $c_0$ 的等距同構類的布雷爾複雜度為何？與其他經典空間相比如何？
• RQ5 $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-空間、超反射空間以及具有局部 $\Pi$-基結構的空間等廣泛類別的布雷爾複雜度為何？

主要发现

• 無限維希爾伯特空間的等距同構類是波蘭空間中唯一一個其等距同構類為封閉的可分無限維巴拿赫空間。
• 對於 $p \in [1,2) \cup (2,\infty)$，$L_p[0,1]$ 與 $\ell_p$ 空間的等距同構類分別為 $G_\delta$-完全與 $F_{\sigma\delta}$-完全。
• 古拉里空間的等距同構類為 $G_\delta$-完全，且在可分巴拿赫空間的波蘭空間中為稠密的 $G_\delta$。
• $c_0$ 的等距同構類為 $F_{\sigma\delta}$-完全，顯示其布雷爾複雜度高於 $p \neq 2$ 時的 $L_p$ 或 $\ell_p$ 空間。
• 對於 $p,\lambda \geq 1$ 的 $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-空間類別為 $G_\delta$，顯示其複雜度相對較低。
• 具有局部 $\Pi$-基結構的空間複雜度為 $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$，處於布雷爾層次中較高但明確定義的層次。