[论文解读] Polling systems and multitype branching processes in random environment counted by random characteristics

Vladimir Vatutin|ArXiv.org|Oct 6, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文通过随机环境中多类型分支过程（MBPRCRE）及其随机特征计数，分析了服务参数随机变化的分支型轮询系统。在特定矩条件与亚临界性条件下，建立了忙期长度尾部分布以幂律形式衰减的条件，即 $\sim Cy^{-\kappa}$，并给出了忙期内累计总最终产品具有有限或无限矩的判别准则。

ABSTRACT

By the methods of multitype branching processes in random environment counted by random characteristics we study the tail distribution of busy periods and some other characteristics of the branching type polling systems in which the service disciplines, input parameters and service time distributions are changing in a random manner.

研究动机与目标

• 分析服务制度与参数随机变化的轮询系统中忙期尾部行为。
• 将现有关于忙期矩与尾部分布行为的研究结果，从指数服务时间假设扩展至更一般情形。
• 建立忙期内累计总最终产品（如服务时间）具有有限或无限矩的条件。
• 刻画忙期长度尾部分布的渐近幂律衰减特性。
• 对先前结果（特别是文献[34]中的定理1.1）进行推广与细化，适用于更广泛的非指数与非马氏系统类别。

提出的方法

• 将轮询系统建模为随机环境中的多类型分支过程（MBPRCRE），其中每次服务器访问产生后代客户与一个最终产品（如服务时间）。
• 使用混合概率生成函数（m.p.g.f.）$\phi_n^{(i)}(\mathbf{s};\lambda)$ 描述各站点后代与最终产品联合分布。
• 通过随机矩阵 $H_n$ 与向量 $\mathbf{C}_n$ 表示预期后代与最终产品数量，描述系统演化过程。
• 应用随机特征理论追踪忙期内累计的总最终产品 $\Phi$。
• 推导关键方程 $\mathbf{C}_n = (E - H_n^\Delta)^{-1} \mathbf{c}_n$，以过渡矩阵表示预期总最终产品。
• 在分支过程的矩与尾部分析条件下，特别是关注亚临界性与参数 $\kappa$ 的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，忙期内累计的总最终产品 $\Phi$ 的尾部分布呈现幂律形式？
• RQ2 何时忙期以正概率为无穷？何种条件导致该行为？
• RQ3 决定 $\Phi$ 的 $x$ 阶矩有限或无限的因素是什么？
• RQ4 尾部衰减速率 $\sim Cy^{-\kappa}$ 如何依赖于系统的随机参数与分支结构？
• RQ5 能否将结果从指数服务时间分布推广至更广泛的系统类别？

主要发现

• 在指定的矩条件与亚临界性条件下，忙期长度的尾部分布满足 $\mathbf{P}(\Phi > y) \sim C y^{-\kappa}$，当 $y \to \infty$ 时，其中 $C > 0$ 且 $\kappa > 0$。
• 若底层 MBPRCRE 为亚临界且满足特定矩条件，则 $\mathbf{E}[\Phi^x] < \infty$ 当且仅当 $x < \kappa$。
• 若底层 MBPRE 为超临界且 $\alpha > 0$，且条件 (16) 成立，则忙期以正概率为无穷。
• 当最终产品对应于服务时间时，尾部分布行为得到完全刻画，该结果推广了以往依赖指数服务时间假设的研究。
• 参数 $\kappa$ 由包含后代与最终产品分布矩生成函数的特征方程的解确定。
• 条件 $T$（确保随机矩阵 $H_n$ 的矩生成函数存在）至关重要，但目前仅在有限类矩阵中得到验证。