[论文解读] Poly-locality in quantum computing

Michael Freedman|ArXiv.org|Jan 21, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文提出了一种量子计算中多局部酉变换的框架，证明了像Shor因数分解这样的关键量子算法依赖于多局部傅里叶变换。研究证明离散正交小波变换——包括Daubechies变换——是多局部的，因而可在量子计算机上高效实现，并表明即使对多局部性的轻微违反也会导致单向函数的不存在，从而强化了多局部性作为基本物理约束的地位。

ABSTRACT

A polynomial depth quantum circuit effects, by definition a poly-local unitary transformation of tensor product state space. It is a physically reasonable belief [Fy][L][FKW] that these are precisely the transformations which will be available from physics to help us solve computational problems. The poly-locality of discrete Fourier transform on cyclic groups is at the heart of Shor's factoring algorithm. We describe a class of poly-local transformations, including all the discrete orthogonal wavelet transforms in the hope that these may be helpful in constructing new quantum algorithms. We also observe that even a rather mild violation of poly-locality leads to a model without one-way functions, giving further evidence that poly-locality is an essential concept.

研究动机与目标

• 将多局部酉变换在量子计算中的作用形式化并分析，作为基本物理约束。
• 证明离散正交小波变换（包括Daubechies变换D2n）是多局部的，因此可在量子计算机上高效实现。
• 表明多局部性对于单向函数的存在至关重要，意味着即使轻微违反也会破坏密码学安全性。
• 探索通过相位编码量子电路实现连续变换的潜力，将高效量子计算扩展至离散向量化变换之外。

提出的方法

• 将多局部哈密顿量定义为多项式数量的局部项之和，每项作用于常数个量子比特，以模拟物理上可实现的量子演化。
• 利用Solovay-Kitaev定理和量子线路综合，通过量子门的乘积近似此类哈密顿量的时间演化。
• 构建循环周期近对角矩阵的显式量子线路，此类矩阵包含小波变换，且无需辅助量子比特。
• 引入相位编码技术，将离散变换的输出嵌入复相位的叠加态中，从而实现连续变换的高效模拟。
• 应用准等距畸变分析，证明离散变换目标可由单位圆上的离散弧近似。
• 证明任何可高效向量化实现的变换，均可通过输出值的相位编码推广为连续版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散正交小波变换能否作为多局部量子线路被高效实现？
• RQ2 多局部性对量子计算机计算能力有何影响，特别是对单向函数存在的影响？
• RQ3 如何通过量子线路高效模拟连续版本的量子变换？
• RQ4 多局部结构在物理上可实现的量子计算中必要程度如何？
• RQ5 向量化傅里叶与小波变换能否推广至量子计算中的连续信号处理任务？

主要发现

• 循环群上的离散傅里叶变换，作为Shor因数分解算法的核心，是多局部的，且可在log(m)的多项式数量的量子门内实现，其中m为群的阶。
• 所有标准离散正交小波变换，包括Daubechies变换D2n，均被证明为多局部的，从而可在量子计算机上高效实现。
• 量子演化中对多局部性的轻微违反将意味着单向函数的不存在，表明多局部性是安全密码学所必需的基本物理原理。
• 相位编码方法允许为任何具有高效向量化实现的变换构造高效量子线路以实现其连续版本。
• 通过相位编码实现的连续变换近似，其线路深度与离散版本相同，从而可高效采样连续变换的输出。
• 量子变换的向量化特性——将函数值视为独立基态——意味着在置换下周期性得以保持，这是Shor算法中被利用的关键特征。