[论文解读] Polya sequences, Toeplitz kernels and gap theorems

Mishko Mitkovski, Alexei Poltoratski|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文通过将Pólya序列——即满足任何在该序列上有界的零指数型整函数必为常数的分离实序列——与Toeplitz核及de Branges空间联系起来，解决了Pólya-Levinson问题。关键结果是：当且仅当存在一列长区间，其上点的密度趋于零时，该序列才不是Pólya序列，从而解决了复分析与傅里叶分析中长期悬而未决的公开问题。

ABSTRACT

A separated sequence $Λ$ on the real line is called a Polya sequence if any entire function of zero exponential type bounded on $Λ$ is constant. In this paper we solve the problem by Polya and Levinson that asks for a description of Polya sets. We also show that the Polya-Levinson problem is equivalent to a version of the so-called Beurling gap problem on Fourier transforms of measures. The solution is obtained via a recently developed approach based on the use of Toeplitz kernels and de Branges spaces of entire functions.

研究动机与目标

• 解决Pólya序列——即满足任何在该序列上有界的零指数型整函数必为常数的分离实序列——的长期公开问题。
• 建立Pólya-Levinson问题与傅里叶变换测度的Beurling间隙问题之间版本的等价性。
• 通过实轴上集合的长补集与短补集概念，对Pólya序列提供完整刻画。
• 通过Toeplitz核理论与de Branges整函数空间，扩展并统一de Branges与Beurling的结果。
• 证明Pólya-Levinson条件等价于某类Toeplitz算子问题不存在非平凡解。

提出的方法

• 利用de Branges整函数空间理论，分析在序列上有界的零指数型函数的结构。
• 应用Toeplitz核理论，将Pólya-Levinson问题与Hardy空间 $ H^2(\mathbb{C}_+) $ 上Toeplitz算子的单射性联系起来。
• 采用序列 $ \Lambda $ 的上密度 $ D_*(\Lambda) $ 概念，将其与某些de Branges空间中非平凡函数的存在性联系起来。
• 应用Smirnov-Nevanlinna类 $ N^+(\mathbb{C}_+) $ 中函数的内-外因子分解，特别是涉及奇异内函数 $ S(z) = e^{iz} $。
• 应用几乎递减函数的概念，刻画内函数的辐角行为及其与 $ S(z) $ 的相互作用，从而导出非零的Nevanlinna计数函数。
• 建立Pólya-Levinson条件与条件 $ N[\bar{\Theta}S^{2c}] \neq 0 $ 对所有 $ c > 0 $ 成立的等价性，其中 $ \Theta $ 是一个满足 $ \{ \Theta = 1 \} = \Lambda $ 的亚纯内函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Pólya序列——即满足任何在该序列上有界的零指数型整函数必为常数的分离实序列——的完整刻画是什么？
• RQ2 Pólya-Levinson问题与Beurling间隙问题（关于存在非平凡测度其傅里叶变换在区间上为零）之间有何关联？
• RQ3 Levinson与de Branges的经典充分条件能否被强化为Pólya序列的充要条件？
• RQ4 序列在长区间上的密度在多大程度上决定了其是否为Pólya序列？
• RQ5 Toeplitz核与de Branges空间在解决复分析与调和分析中这些经典问题时起什么作用？

主要发现

• 当且仅当存在一列长区间 $ \{I_n\} $，使得 $ \frac{\#(\Lambda \cap I_n)}{|I_n|} \to 0 $ 当 $ n \to \infty $ 时，分离序列 $ \Lambda \subset \mathbb{R} $ 才不是Pólya序列，从而提供了完整刻画。
• Pólya-Levinson问题等价于Beurling间隙问题的一个版本：存在一个非平凡的紧支集于 $ \Lambda $ 的有限测度，其傅里叶变换在正长度区间上为零，当且仅当 $ \Lambda $ 不是Pólya序列。
• 本文通过证明：若实轴上闭集 $ X \subset \mathbb{R} $ 的补集为长补集，则任何支集于 $ X $ 的非平凡有限测度的傅里叶变换不可能在区间上为零，从而推广了Beurling的间隙定理，且该条件对这类测度的存在性而言是必要且充分的。
• 序列 $ \Lambda $ 的上密度 $ D_*(\Lambda) $ 满足 $ D_*(\Lambda) = \frac{1}{2\pi} \sup \{ a \geq 0 : \text{存在亚纯内函数 } \Theta \text{ 满足 } \{\Theta = 1\} \subset \Lambda \text{ 且对所有 } \epsilon > 0 \text{ 有 } N[\bar{\Theta} S^{a - \epsilon}] \neq 0 \} $，将密度与谱性质联系起来。
• 存在一个非常数的零指数型整函数在 $ \Lambda $ 上有界，当且仅当存在一个短de Branges空间 $ B_E $，其等距嵌入 $ L^2(\mu) $，其中 $ \mu $ 是 $ \Lambda $ 上的计数测度，且 $ B_E $ 中所有函数均为零型。
• 证明表明：若对所有 $ c > 0 $ 有 $ N[\bar{\Theta} S^{2c}] = 0 $，则对应de Branges空间中的任意函数在 $ \Lambda $ 上有界，这意味着 $ \Lambda $ 不是Pólya序列，从而完成了对偶性论证。