[论文解读] Polychromatic X-ray CT Image Reconstruction and Mass-Attenuation Spectrum Estimation

Renliang Gu, A. Dogandzic|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 23被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种用于多色X射线CT的盲稀疏图像重建方法，通过从欠采样、含噪的投影数据中联合估计质量衰减谱和密度图。通过将测量模型中的变量从光子能量重新参数化为质量衰减，该方法构建了一个拉普拉斯型积分方程，并采用结合Nesterov近端梯度与L-BFGS-B步长的块坐标下降算法，在未知光谱和材料条件下实现了具有理论收敛保证的精确重建。

ABSTRACT

We develop a method for sparse image reconstruction from polychromatic computed tomography (CT) measurements under the blind scenario where the material of the inspected object and the incident-energy spectrum are unknown. We obtain a parsimonious measurement-model parameterization by changing the integral variable from photon energy to mass attenuation, which allows us to combine the variations brought by the unknown incident spectrum and mass attenuation into a single unknown mass-attenuation spectrum function; the resulting measurement equation has the Laplace integral form. The mass-attenuation spectrum is then expanded into first order B-spline basis functions. We derive a block coordinate-descent algorithm for constrained minimization of a penalized negative log-likelihood (NLL) cost function, where penalty terms ensure nonnegativity of the spline coefficients and nonnegativity and sparsity of the density map. The image sparsity is imposed using total-variation (TV) and $\ell_1$ norms, applied to the density-map image and its discrete wavelet transform (DWT) coefficients, respectively. This algorithm alternates between Nesterov's proximal-gradient (NPG) and limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno with box constraints (L-BFGS-B) steps for updating the image and mass-attenuation spectrum parameters. To accelerate convergence of the density-map NPG step, we apply a step-size selection scheme that accounts for varying local Lipschitz constant of the NLL. We consider lognormal and Poisson noise models and establish conditions for biconvexity of the corresponding NLLs. We also prove the Kurdyka-Łojasiewicz property of the objective function, which is important for establishing local convergence of the algorithm. Numerical experiments with simulated and real X-ray CT data demonstrate the performance of the proposed scheme.

研究动机与目标

• 为解决多色CT中的束硬化伪影问题，提出在入射光谱与物质未知条件下实现稀疏图像重建的方法。
• 通过将变量从光子能量转换为质量衰减，实现测量模型的统一参数化，将光谱与衰减合并为单一未知函数。
• 通过总变差与ℓ₁-范数惩罚项，确保重建图像的非负性与稀疏性。
• 基于泊松与对数正态噪声模型下负对数似然函数的双凸性与Kurdyka-Łojasiewicz性质，建立理论收敛性保证。
• 通过考虑Nesterov近端步长中局部Lipschitz常数的变步长策略，加速收敛。

提出的方法

• 通过将积分变量从光子能量转换为质量衰减，重新参数化多色CT测量模型，得到拉普拉斯积分形式。
• 采用一阶B样条函数对未知质量衰减谱进行展开，以实现有限维参数化。
• 构建带非负性与稀疏性约束的惩罚负对数似然（NLL）代价函数，针对图像与谱参数施加约束。
• 采用块坐标下降算法，交替使用Nesterov近端梯度（NPG）进行图像更新，以及L-BFGS-B进行谱更新。
• 在NPG步骤中引入变步长策略，根据NLL的局部Lipschitz常数自适应调整，以加速收敛。
• 证明了在泊松与对数正态噪声模型下，NLL的双凸性，并建立了目标函数的Kurdyka-Łojasiewicz性质，以支持全局收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在入射光谱与物质未知的盲条件下，构建一个联合重建与谱估计框架用于多色CT？
• RQ2 如何对测量模型进行重新参数化，以将未知光谱与衰减的影响统一为单一未知函数？
• RQ3 在同时满足稀疏性与非负性约束的条件下，何种优化策略可确保图像与质量衰减谱联合估计的收敛性与稳定性？
• RQ4 在该双凸设置下，如何从理论上保证块坐标下降算法的收敛性？
• RQ5 何种步长自适应策略可提升Nesterov近端梯度法中图像更新步骤的收敛速度？

主要发现

• 所提方法即使在严重欠采样与未知入射光谱条件下，仍能实现精确的图像重建与质量衰减谱估计。
• B样条基函数的使用实现了对未知质量衰减谱的稳定且灵活的表示。
• 由于目标函数满足Kurdyka-Łojasiewicz性质，结合NPG与L-BFGS-B的块坐标下降算法实现了全局收敛。
• NPG步骤中采用的变步长策略通过自适应匹配NLL的局部光滑性，显著加速了收敛。
• 该方法在模拟与真实X射线CT数据上均表现出鲁棒性能，显著优于线性重建方法，在减少束硬化伪影方面表现更优。
• 理论分析证实了在泊松与对数正态噪声模型下负对数似然函数的双凸性，为优化方案的收敛性提供了理论支持。