[论文解读] Polyfold and SFT Notes I: A Primer on Polyfolds and Construction Tools

Joel W. Fish, Helmut Hofer|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了一套基础框架，用于通过印刻法与函子构造方法构建M-多叶形——辛几何中至关重要的广义巴拿赫流形——并利用sc-光滑结构从光滑模型构建M-多叶形与强丛，从而能够处理具有节点或奇异行为的模空间。关键成果包括将构造函子扩展至向量丛，以及通过局部提升表征sc-光滑映射。

ABSTRACT

Notes for the upcoming Workshop on Symplectic Field Theory IX, Polyfolds for SFT. These notes are essentially the first few chapters of a forthcoming book entitled "Polyfold Constructions: Tools, Techniques, and Functors"

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，通过印刻技术从光滑模型构建M-多叶形。
• 将隐函数定理框架推广至具有sc-结构的无限维情形。
• 提供一种函子化方法，用于构建M-多叶形与强丛，同时保持sc-光滑性。
• 解决辛几何中因泡状现象与自同构导致的模空间中的横截性与紧致性问题。
• 为在辛场论（SFT）中使用一致的范畴论框架构建模空间奠定基础。

提出的方法

• 印刻法通过从光滑流形出发，沿具有局部光滑截面的满射进行商化，构造M-多叶形，确保商拓扑具有度量性且结构定义良好。
• sc-结构与sc-微积分用于在巴拿赫空间上定义光滑度的层级结构，从而控制正则性地处理无限维问题。
• 强丛的构造通过一对 (N,L) 的范畴及形如 F(u,h) = (f(u), A(u)h) 的态射形式化，其中 f 与 A 为光滑映射。
• 发展了一种函子化方法，将构造从模型空间推广至一般M-多叶形与强丛，保持sc-光滑性并兼容态射。
• 通过将丛嵌入欧氏空间并利用管状邻域与投影映射，实现M-多叶形上向量丛结构的扩展。
• 关键技术工具是存在一个满足 r∘r = r 的投影映射 r，该映射允许定义一个全局态射 F，其在纤维上限制为投影，从而实现一致的丛扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过类似商的构造方法，系统地从光滑模型构建M-多叶形，同时保持光滑性与度量性？
• RQ2 何种条件可确保从光滑流形到集合的满射通过局部提升诱导出定义良好的M-多叶形结构？
• RQ3 如何函子化地将强丛结构从模型空间扩展至一般M-多叶形，同时保持sc-光滑性？
• RQ4 模型空间之间的sc-光滑态射在何种方式下诱导出相关M-多叶形与强丛之间的一致映射？
• RQ5 投影与管状邻域在将向量丛结构扩展至M-多叶形中起何种作用？

主要发现

• 印刻法为光滑流形的商空间继承M-多叶形结构提供了必要且充分的条件，其特征为局部光滑截面的存在。
• 在范畴 N² 上定义了一个强丛构造函子，为每对 (N,L) 分配一个具有相容sc-光滑结构与保持像的态射的强丛。
• 通过适当的丛嵌入与投影映射，将强丛构造函子从模型空间扩展至一般向量丛，从而在 Z(N,P) 与 Z(R^N × R^P) 之间诱导出自然同构。
• 该构造确保sc-光滑性在复合与限制下保持不变，且当映射 F 与 G 在某点的像上一致时，其在函子下的提升亦一致。
• 该框架可通过将模空间嵌入统一模型空间，实现对具有不同定义域与目标的模空间的一致处理，尤其适用于SFT情境。
• 该理论为在辛几何中构建M-多叶形提供了严格基础，尤其适用于涉及紧致性与横截性的难题，通过将其简化为有限维模型构造。