[论文解读] Polyfolds And A General Fredholm Theory

Helmut Hofer|ArXiv.org|Sep 22, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 21

一句话总结

本文在多复形（polyfolds）框架下提出了一种广义的弗雷德霍姆理论，将经典微分几何与泛函分析推广至具有分析奇点（如泡状现象和断裂）的模空间。通过引入sc-结构与sc-光滑映射，该理论为多复形上强丛的弗雷德霍姆截面建立了类Sard-Smale的扰动理论，证明了解集构成紧致的、自然定向的带角分枝子轨道，从而支持了辛拓扑中如格罗莫夫-威滕不变量等不变量的构造。

ABSTRACT

We survey a very general (nonlinear) Fredholm theory for a new class of ambient spaces, called polyfolds. This theory is being currently developed jointly with K. Wysocki and E. Zehnder. The basic feature of these new spaces is that in general they may have locally varying dimensions. These new spaces are needed for a functional analytic treatment of nonlinear problems involving analytic limiting behavior. This theory is applicable to Gromov-Witten and Floer Theory as well as Symplectic Field Theory.

研究动机与目标

• 开发一种广义弗雷德霍姆理论，以处理具有泡状现象与断裂等分析奇点的模问题中的紧致性与横截性问题。
• 通过引入sc-结构与sc-光滑映射，将经典微分几何与泛函分析推广至具有非平凡极限行为的无穷维空间。
• 为通过多复形与强丛构造辛几何场论、格罗莫夫-威滕理论与弗洛尔理论中的不变量，提供一个严格的框架。
• 确立弗雷德霍姆截面的解集为自然紧致的带角分枝子轨道，从而支持微分形式的积分与不变量的构造。

提出的方法

• 在巴拿赫空间上引入sc-结构作为光滑结构的推广，从而引入一种新的可微性概念——sc-可微性。
• 将M-多复形定义为局部同胚于巴拿赫空间的sc-光滑收缩的度量空间，推广了流形与轨道。
• 发展M-多复形上强丛的理论，并将这些丛的弗雷德霍姆截面定义为经典弗雷德霍姆算子的推广。
• 利用sc⁺-多值截面将弗雷德霍姆截面扰动至横截位置，确保解集为紧致的、带角的分枝子轨道。
• 通过行列式线丛建立弗雷德霍姆截面的自然定向理论，该理论与态射及cobordism相容。
• 将该理论应用于格罗莫夫-威滕理论，证明在稳定曲线多复形上，∂̄_J算子是适当的、定向的、多复形弗雷德霍姆截面。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典弗雷德霍姆理论如何被推广以处理具有非光滑极限行为（如泡状现象与断裂）的模空间？
• RQ2 能否为具有变化局部维数与紧致性问题的无穷维空间发展一种类Sard-Smale的扰动理论？
• RQ3 如何为这类空间中非线性弗雷德霍姆型方程的解集赋予自然的几何结构，如带角的分枝子轨道？
• RQ4 在何种条件下，多复形上弗雷德霍姆截面的解集为紧致且具备良好的积分理论？
• RQ5 在此广义框架下，如何一致地定义并保持扰动下的定向数据？

主要发现

• 强多复形丛上适当且横截的弗雷德霍姆截面的解集是紧致的、带角的分枝子轨道，自然配备一个权函数。
• 当弗雷德霍姆截面为定向时，其解集通过线性化算子的行列式丛继承一个典范定向。
• 对于多复形的任意连通分支，存在唯一的德拉姆上同调上的线性泛函，由带权的解集上的积分定义。
• 在稳定映射多复形上，格罗莫夫-威滕的∂̄_J算子是适当的、定向的、多复形弗雷德霍姆截面，验证了该框架在关键应用中的有效性。
• 通过sc⁺-多值截面进行扰动，可在保持紧致性与cobordism不变性的同时实现横截性，从而支持不变量的构造。