[论文解读] Polygamma theory, the Li/Keiper constants, and validity of the Riemann Hypothesis

Mark W. Coffey|ArXiv.org|Jul 17, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文研究了一组与黎曼xi函数对数导数相关的新型常数 $ c_n $，这些常数与Li/Keiper常数相关。研究发现，与Li常数 $ \lambda_n $ 不同，$ c_n $ 序列不具有 $ \frac{1}{2}\ln n $ 的主导行为，并给出了 $ c_n $ 关于Stieltjes常数的显式表达式。其主要贡献在于对 $ |c_n| $ 渐近增长的猜想，若该猜想成立，则可推出黎曼猜想的正确性。

ABSTRACT

The Riemann hypothesis is equivalent to the Li criterion governing a sequence of real constants, that are certain logarithmic derivatives of the Riemann xi function evaluated at unity. We investigate a related set of constants c_n, n = 1,2,..., showing in detail that the leading behaviour (1/2) ln n of lambda_n/n is absent in c_n. Additional results are presented, including a novel explicit representation of c_n in terms of the Stieltjes constants gamma_j. We conjecture as to the large-n behaviour of c_n. Should this conjecture hold, validity of the Riemann hypothesis would follow.

研究动机与目标

• 分析通过黎曼xi函数对数导数定义的新常数序列 $ c_n $ 的渐近行为。
• 将 $ c_n $ 与Li/Keiper常数 $ \lambda_n $ 进行比较，特别是关注 $ c_n $ 中不存在 $ \frac{1}{2}\ln n $ 主导项的特性。
• 推导 $ c_n $ 关于Stieltjes常数 $ \gamma_k $ 的显式表达式。
• 提出关于 $ |c_n| $ 渐近阶的精确猜想，若该猜想被证实，则可推出黎曼猜想的正确性。

提出的方法

• 定义 $ F(z) = \ln\left[ \frac{z}{1-z} \zeta\left( \frac{1}{1-z} \right) \right] $，其幂级数展开 $ F(z) = \sum_{n=1}^\infty c_n z^n $（其中 $ c_0 = 0 $，$ c_1 = \gamma $）确定了常数 $ c_n $。
• 利用黎曼zeta函数的函数方程及Gamma函数和多伽马函数的性质，分析xi函数对数导数的性质。
• 通过zeta函数在 $ s=1 $ 附近的洛朗级数展开，推导出 $ c_n $ 关于Stieltjes常数 $ \gamma_k $ 的显式公式。
• 应用关于zeta函数对数导数中 $ \eta_j $ 系数的已知结果，将 $ c_n $ 与 $ \zeta(s) $ 的深层解析性质联系起来。
• 利用数值数据和渐近分析，推测 $ |c_n| $ 的增长速率，特别是其亚指数性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 由黎曼xi函数对数导数导出的序列 $ c_n $，是否不具有 $ \lambda_n/n $ 中存在的 $ \frac{1}{2}\ln n $ 主导项？
• RQ2 能否将 $ c_n $ 显式地用Stieltjes常数 $ \gamma_k $ 表示？
• RQ3 真正的 $ |c_n| $ 渐近阶是什么？它与黎曼猜想的正确性有何关联？
• RQ4 是否存在 $ c_n $ 常数与 $ \zeta(s) $ 在 $ s=1 $ 附近的洛朗展开中 $ \eta_j $ 系数之间的联系？

主要发现

• 序列 $ c_n $ 不具备 $ \lambda_n/n $ 中发现的 $ \frac{1}{2}\ln n $ 主导行为，表明其具有不同的基本结构。
• 推导出了 $ c_n $ 关于Stieltjes常数 $ \gamma_k $ 的显式公式，且给出了 $ c_1 $ 到 $ c_5 $ 的闭式表达式。
• 前几项 $ c_n $ 的值被显式计算：$ c_1 = \gamma $，$ c_2 = \gamma - \gamma^2/2 - \gamma_1 $，$ c_3 = \gamma - \gamma^2 + \gamma^3/3 - 2\gamma_1 + \gamma\gamma_1 + \gamma_2/2 $。
• 本文猜想 $ |c_n| $ 以亚指数方式增长，若该猜想成立，则黎曼猜想将被证明为真。
• 函数 $ F(z) $（其系数为 $ c_n $）在单位圆内解析，等价于黎曼猜想。
• 数值证据和渐近分析支持 $ |c_n| $ 的增长速度慢于任何指数函数，这足以推出黎曼猜想。