[论文解读] Polygon Containment and Translational Min-Hausdorff-Distance between Segment Sets are 3SUM-Hard

Gill Barequet, Sariel Har-Peled|ArXiv.org|Dec 16, 2025

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 3被引用 8

一句话总结

简要结论：本文通过一系列将 3SUM’ 归约到区间、线段、多边形包含以及距离问题在平移、旋转或刚性运动下的变换，证明了若干多边形包含和 Hausdorff 距离问题是 3SUM-hard。

ABSTRACT

The 3SUM problem represents a class of problems conjectured to require $Ω(n^2)$ time to solve, where $n$ is the size of the input. Given two polygons $P$ and $Q$ in the plane, we show that some variants of the decision problem, whether there exists a transformation of $P$ that makes it contained in $Q$, are 3SUM-Hard. In the first variant $P$ and $Q$ are any simple polygons and the allowed transformations are translations only; in the second and third variants both polygons are convex and we allow either rotations only or any rigid motion. We also show that finding the translation in the plane that minimizes the Hausdorff distance between two segment sets is 3SUM-Hard.

研究动机与目标

• 在标准猜想下，推动并将几何问题归类为 3SUM-hard。
• 证明在平移下，区间包含、线段包含、多边形包含以及 Hausdorff 距离等几何问题继承 3SUM-hard 性质。
• 将难度推广到在旋转或刚性运动下的凸多边形包含问题。
• 提供可构造的归约，将 3SUM’ 的实例映射到大小相当的几何实例中。

提出的方法

• 引入 3SUM-hard 框架及代表性问题（3SUM 与 3SUM’）。
• 通过区间构造和点/线段构造，将 3SUM’ 归约到实数线上的 Equal Distance 和 Seg ContPnt。
• 通过 comb 构造和在平面上的嵌入，将 Seg ContPnt 在平移下转化为 Polygon Containment。
• 利用圆弧映射和凸包技术，扩展到 ConvexPolyContRot 和 ConvPolyContRigid Mot。
• 通过分离引理和辅助线，将 Seg ContPnt 归约到 SegHausDist，以在平移下获得 2D 距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两集合仅包含点时，Seg ContPnt 是否 3SUM-hard？
• RQ2 在平移下，最小 Hausdorff 距离问题的其他变体是否也是 3SUM-hard？
• RQ3 这些难度结果是否推广到在旋转或刚性运动下的所有凸多边形包含变体？
• RQ4 在对几何包含和距离问题的 3SUM-hardness 精确边界进行分类时，尚存哪些待解决的问题？

主要发现

• 已证明若干包含问题是 3SUM-hard：Seg ContPnt、在平移下的 PolyCont、ConvPolyContRot 以及 ConvPolyContRigid Mot。
• 平面线段集合之间的最小平移 Hausdorff 距离是 3SUM-hard。
• 归约依赖于构建几何类比（梳状多边形、圆弧映射）以保持解的存在性。
• 一个 3SUM’ 实例可以高效地转换为与所考虑问题大小相当的几何实例。