[论文解读] Polygons as Sections of Higher-Dimensional Polytopes

Arnau Padrol, Julián Pfeifle|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用 2

一句话总结

本文证明了每个七边形都是一个顶点数至多为6的三维多面体的截面，从而确立其交集复杂度恰好为6。通过射影几何与组合拓扑学，作者推导出任意满足 n ≥ 7 的 n 边形均可实现为一个 (2 + ⌊n/7⌋) 维多面体的截面，其顶点数至多为 ⌊6n/7⌋，从而为秩为3的非负矩阵的非负秩提供了一个几何证明的上界，解决了 Beasley 和 Laffey 提出的猜想。

ABSTRACT

We show that every heptagon is a section of a 3-polytope with 6 vertices. This implies that every n-gon with n≥7 can be obtained as a section of a (2+⌊n7⌋)-dimensional polytope with at most ⌈6n7⌉ vertices; and provides a geometric proof of the fact that every nonnegative n×m matrix of rank 3 has nonnegative rank not larger than ⌈6min(n,m)7⌉. This result has been independently proved, algebraically, by Shitov (J. Combin. Theory Ser. A 122, 2014).

研究动机与目标

• 确定七边形的交集复杂度，即其投影可产生给定七边形的多面体的最小顶点数。
• 为满足 n ≥ 7 的任意 n 边形建立交集复杂度的紧致上界。
• 通过几何方法证明非负矩阵的非负秩的上界，解决 Beasley 和 Laffey 提出的猜想。
• 通过松弛矩阵对应关系与扩展复杂度，建立组合几何与矩阵理论之间的联系。

提出的方法

• 使用射影变换对七边形进行标准化，将问题简化为分析一个典范配置。
• 引入“标准化线”——七边形中相对顶点对之间的连线——并利用行列式恒等式证明其中至少有一条为非交叉线。
• 证明一个关键恒等式（引理18）：涉及射影平面上7点构型所构成三角形的有向面积，表明某些叉积项的和为零。
• 将此恒等式应用于证明并非所有标准化线都可为 +-交叉，从而推导出存在一条非交叉线，使七边形可射影等价于标准七边形。
• 利用引理25组合较小多边形的截面：若 P₁ 和 P₂ 分别是 d₁- 和 d₂-维多面体的截面，且分别有 n₁ 和 n₂ 个顶点，则其凸包是 (d₁ + d₂ - d)-维多面体的截面，其顶点数至多为 n₁ + n₂。
• 通过将 n 边形分解为七边形与更小多边形，利用三维多面体中七边形的结果，递归构造高维截面。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个3维多面体的2维截面为给定七边形时，其最小顶点数是多少？
• RQ2 是否每个满足 n ≥ 7 的 n 边形都可实现为维度关于 n 亚线性、且顶点数也亚线性的多面体的截面？
• RQ3 秩为3的非负 n × m 矩阵的最大可能非负秩是多少？
• RQ4 每个七边形是否都存在一个射影变换，使得其一对对顶点连线中至少有一条为非交叉？
• RQ5 n 边形的交集复杂度是否可被 O(n/7) 的维度和 O(n/7) 的顶点数所界定？

主要发现

• 每个七边形的交集复杂度恰好为6，意味着它可作为6个顶点的3维多面体的截面实现，且无法用更少的顶点实现。
• 对于任意满足 n ≥ 7 的 n 边形，其交集复杂度至多为 ⌊6n/7⌋，通过构造一个 (2 + ⌊n/7⌋) 维多面体，其顶点数至多为 ⌊6n/7⌋ 实现。
• 该几何构造证明了每个秩为3的非负 n × m 矩阵的非负秩至多为 ⌊6 min(n,m)/7⌋，从而解决了 Beasley 和 Laffey 提出的猜想。
• 该证明依赖于一个拓扑障碍：一个行列式恒等式（引理18）表明，7点构型上所有有向面积项的和为零，这意味着并非所有标准化线都可为 +-交叉。
• 任何七边形中存在一条非交叉的标准化线，使其可射影等价于标准构型，从而实现6顶点3维多面体截面的构造。
• 该结果优于先前的界限：尽管早期工作表明在 O(n) 维度中需 O(n) 个顶点，本文实现了在 O(n/7) 维度中仅需 O(n) 个顶点，接近亚线性缩放。