[论文解读] Polyhedral Representation of Discrete Morse Functions on Regular CW Complexes and Posets

Ethan D. Bloch|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了有限正则CW复形上的离散Morse函数与嵌入欧氏空间中的剖分单纯复形上的多面体Morse函数之间的直接对应关系。证明了在适当的欧氏空间嵌入下，Forman意义下的每个离散临界胞腔（discrete-critical cell）恰好对应于Banchoff意义下的一个多面体临界顶点（polyhedral-critical vertex），并通过投影到一条一般直线保持临界性。

ABSTRACT

It is proved that every discrete Morse function in the sense of Forman on a finite regular CW complex can be represented by a polyhedral Morse function in the sense of Banchoff on an appropriate embedding in Euclidean space of the barycentric subdivision of the CW complex; such a representation preserves critical points. The proof is stated in terms of discrete Morse functions on a class of posets that is slightly broader than the class of face posets of finite regular CW complexes.

研究动机与目标

• 弥合Forman的离散Morse理论与Banchoff在有限正则CW复形上的多面体Morse理论之间的概念鸿沟。
• 解决这两个广泛引用但看似迥异的Morse理论框架之间缺乏严谨联系的问题。
• 表明Forman离散设定中的临界胞腔可在Banchoff多面体设定中几何实现为临界顶点。
• 建立barycentric剖分的正则CW复形提供了一个典范单纯结构，使得在投影下胞腔的临界性得以保持。
• 证明对于任意离散Morse函数，存在一个足够高维的欧氏空间嵌入，使得临界性在一般线性投影下保持不变。

提出的方法

• 使用有限正则CW复形的barycentric剖分，将胞腔转换为单纯复形的顶点。
• 使用一种将离散Morse函数值作为x轴坐标保持不变的映射，将所得单纯复形嵌入欧氏空间。
• 应用Banchoff基于包含顶点的单体上(-1)^dim(s)之和符号的顶点指标公式。
• 利用CW复形的面偏序集的序理论性质，将离散Morse函数的临界性条件与多面体指标联系起来。
• 利用2-宽偏序集的性质，表明离散Morse条件意味着：要么唯一前驱的值≥该胞腔的值，要么唯一后继的值≤该胞腔的值。
• 证明多面体指标非零（即顶点为多面体临界）当且仅当对应胞腔在函数下为离散临界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Forman的有限正则CW复形上的离散Morse函数能否通过Banchoff的多面体Morse理论实现几何化？
• RQ2 是否存在一个正则CW复形的barycentric剖分的典范嵌入，使得在线性投影下临界胞腔恰好对应于临界顶点？
• RQ3 在Forman意义下的胞腔临界性是否恰好对应于相应重心处Banchoff指标的非零？
• RQ4 离散Morse函数的临界性条件能否完全基于偏序集结构和barycentric剖分上投影诱导的序关系来刻画？
• RQ5 面偏序集的序理论性质与Banchoff框架中拓扑不变量（指标）之间的确切关系是什么？

主要发现

• 任意有限正则CW复形上的离散Morse函数均可通过其barycentric剖分的欧氏空间嵌入实现多面体几何化。
• 对于任意足够大的维度m，存在一个将barycentric剖分嵌入R^m的嵌入，使得离散Morse函数的临界胞腔恰好对应于Banchoff指标非零的顶点。
• 多面体指标a(φ(b), ξ)非零当且仅当对应胞腔b为离散临界，此时|a(φ(b), ξ)| = 1，符号由胞腔的秩决定。
• 当胞腔为离散普通时，多面体指标为零，对应存在唯一前驱或后继，其值≥或≤该胞腔的值。
• 该构造依赖于面偏序集的偏序结构和2-宽性质，以确保指标计算仅依赖于离散Morse函数的局部行为。
• 在适当旋转和平移嵌入后，对于任意单位向量ξ ∈ S^{m-1}，该结果均成立，从而保证投影的通用性。