[论文解读] Polyhedral Surfaces in Wedge Products

Thilo Rörig, Günter M. Ziegler|ArXiv.org|Aug 21, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入多面体的楔积（wedge product）作为一种新构造，该构造推广了子直积并对偶化了雅列积（wreath products）。研究表明，多边形与单纯形的楔积包含组合正则的多面曲面，类型为{p,2q}，这些曲面可通过高维实现空间的投影嵌入R³，对于{p,4}情形至少产生6p个模参数，从而实现丰富的几何形变，并通过对偶性实现对偶曲面的实现。

ABSTRACT

We introduce the wedge product of two polytopes. The wedge product is described in terms of inequality systems, in terms of vertex coordinates as well as purely combinatorially, from the corresponding data of its constituents. The wedge product construction can be described as an iterated ``subdirect product'' as introduced by McMullen (1976); it is dual to the ``wreath product'' construction of Joswig and Lutz (2005). One particular instance of the wedge product construction turns out to be especially interesting: The wedge products of polygons with simplices contain certain combinatorially regular polyhedral surfaces as subcomplexes. These generalize known classes of surfaces ``of unusually large genus'' that first appeared in works by Coxeter (1937), Ringel (1956), and McMullen, Schulz, and Wills (1983). Via ``projections of deformed wedge products'' we obtain realizations of some of the surfaces in the boundary complexes of 4-polytopes, and thus in R^3. As additional benefits our construction also yields polyhedral subdivisions for the interior and the exterior, as well as a great number of local deformations (``moduli'') for the surfaces in R^3. In order to prove that there are many moduli, we introduce the concept of ``affine support sets'' in simple polytopes. Finally, we explain how duality theory for 4-dimensional polytopes can be exploited in order to also realize combinatorially dual surfaces in R^3 via dual 4-polytopes.

研究动机与目标

• 开发一种新构造——多面体的楔积，以推广子直积并实现对雅列积的对偶化。
• 证明p边形与(q−1)-单形的楔积包含组合正则的多面曲面Σp,2q，其类型为{p,2q}。
• 通过高维楔积的投影，提供这些曲面在R³中的几何实现。
• 利用单形多面体中的仿射支撑集，建立此类曲面的高维实现空间（模参数）的下界。
• 将构造扩展至通过4-多面体中的对偶性，实现类型为{4,p}的对偶曲面Σp,4*。

提出的方法

• 通过显式的线性不等式系统定义两个多面体的楔积，从而精确控制面与顶点的结构。
• 将楔积C_p ⋈ Δ_{q−1} 构造为迭代子直积，给出显式的顶点坐标与组合描述。
• 在C_p ⋈ Δ_{q−1} 的2-骨架中识别出一个特定子复形Σp,2q，其构成类型为{p,2q}的正则等标曲面。
• 利用Perles引理将高维楔积投影至R⁵，当q=2时，进一步通过正交投影至R³的下包络面实现。
• 引入单形多面体中仿射支撑集的概念，以从下界估计实现空间的维数。
• 利用4-多面体中的对偶性，通过对偶投影在R³中实现类型为{4,p}的对偶曲面Σp,4*。

实验结果

研究问题

• RQ1 楔积构造能否产生新的正则多面曲面族，其在R³中具有高亏格与对称结构？
• RQ2 这些曲面的实现所容许的独立形变（模参数）有多少？是否可量化？
• RQ3 曲面Σp,4能否通过4-多面体的投影实现在R³中？该投影是否保持曲面结构？
• RQ4 仿射支撑集在估计投影多面曲面实现空间维数中起什么作用？
• RQ5 能否利用4-多面体中的对偶性在R³中实现组合对偶的曲面Σp,4*？

主要发现

• p边形与1-单形（边）的楔积产生一个2p维的单形多面体W_{p,1}，其2-骨架中包含一个类型为{p,4}的正则曲面Σp,4。
• 曲面Σp,4可通过正交投影保结构地嵌入R³，从而在三维空间中实现。
• Σp,4的实现空间至少具有6p个独立模参数，该结果通过W_{p,1}中大小为2p的仿射支撑集得到确立。
• 类型为{4,p}的对偶曲面Σp,4*可通过投影其对偶4-多面体在R³中实现，利用了4维多面体中的对偶性。
• 当q>2且p>3时，由于拓扑障碍，无法将曲面Σp,2q从W_{p,q−1}投影至R⁴，因此p=3的情形仍为开放问题。
• 使用仿射支撑集提供了一种通用方法，用于在投影实现中下界估计模参数的数量。