[论文解读] Polyhedral Voronoi Cells

Ina Kirsten Voigt, Stephan Weis|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2010

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一句话总结

本文通过将多面体Voronoi胞的多面性与生成元所构成的方向锥的有限生成性联系起来，建立了欧氏空间中离散点集的多面体Voronoi胞的刻画。利用单位球面反演和半无限线性规划对偶性，证明了Voronoi胞是多面体当且仅当生成元的凸对偶的闭包是多面体，进而在离散情形下简化为多面体条件。

ABSTRACT

Voronoi cells of a discrete set in Euclidean space are known as generalized polyhedra. We identify polyhedral cells of a discrete set through a direction cone. For an arbitrary set we distinguish polyhedral from non-polyhedral cells using inversion at a sphere and a theorem of semi-infinite linear programming.

研究动机与目标

• 确定离散点集的Voronoi胞为多面体的必要与充分条件。
• 阐明广义多面体Voronoi胞成为实际多面体的几何与代数条件。
• 通过反演建立Voronoi胞结构与生成元凸对偶之间的对偶关系。
• 将Voronoi胞的多面性与方向锥的有限生成性联系起来，尤其在离散情形下。

提出的方法

• 在单位球面上应用反演，将生成元集变换为对偶集，以分析无界方向。
• 定义凸对偶为反演集与原点的凸包，记为 $\mathcal{C} = \mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathop{\mathrm{inv}}\nolimits(\mathcal{P} \setminus \{0_n\}) \cup \{0_n\})$。
• 应用半无限线性规划（Goberna和López）中的定理，将Voronoi胞 $\mathcal{V}$ 的多面性与 $\overline{\mathcal{C}}$ 的多面性联系起来。
• 建立 $\mathcal{V}$ 是多面体当且仅当 $\overline{\mathcal{C}}$ 是多面体的结论，且当 $\mathcal{P}$ 离散时，该条件简化为 $\mathcal{C}$ 是多面体。
• 将 $\mathcal{V}$ 的衰退锥与 $\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})$ 在原点的法锥联系起来，证明 $\mathop{\mathrm{rec}}\nolimits(\mathcal{V}) = N(\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P}), 0_n)$。
• 利用对偶性将方向锥 $\mathcal{D} = \mathop{\mathrm{pos}}\nolimits(\mathcal{P})$ 与法锥联系起来，证明 $\mathcal{D}^* = N(\mathcal{C}, 0_n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，离散点集的Voronoi胞是多面体？
• RQ2 方向锥 $\mathcal{D} = \mathop{\mathrm{pos}}\nolimits(\mathcal{P})$ 的结构如何决定Voronoi胞的多面性？
• RQ3 凸对偶 $\mathcal{C}$ 在刻画多面体Voronoi胞中起什么作用？
• RQ4 Voronoi胞在何时有界，这与原点位于 $\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})$ 的内部有何关系？
• RQ5 在单位球面上的反演如何促进与Voronoi胞相关的半无限线性规划的分析？

主要发现

• Voronoi胞 $\mathcal{V}$ 是多面体当且仅当其凸对偶的闭包 $\overline{\mathcal{C}}$ 是多面体。
• 当生成元 $\mathcal{P}$ 离散时，Voronoi胞 $\mathcal{V}$ 是多面体当且仅当 $\mathcal{C}$ 是多面体。
• $\mathcal{V}$ 的衰退锥等于法锥 $N(\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P}), 0_n)$，这也等于方向锥的极 $\mathcal{D}^*$。
• Voronoi胞 $\mathcal{V}$ 有界当且仅当 $0_n$ 位于 $\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})$ 的内部，这等价于 $\mathcal{D} = \mathbb{E}^n$。
• 方向锥 $\mathcal{D}$ 有限生成当且仅当 $\mathcal{V}$ 是多面体，但此等价性仅在离散生成元假设下成立。
• $\overline{\mathcal{D}} = \mathbb{E}^n$ 当且仅当 $\mathcal{V}$ 有界，这等价于 $0_n \in \mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})^\circ$。