[论文解读] Polyline Drawings with Topological Constraints

Emilio Di Giacomo, Peter Eades+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文提出了一类多段线绘图方法，可保留非平面图的拓扑性质，且曲线复杂度较低。若平面骨架（无交叉边）连通，则每条边最多三个折点的绘图可完全保留拓扑结构；对于扭度为k的图，曲线复杂度最多为2k，当k=1时可降至1。最优2-平面图可实现直角交叉，曲线复杂度为2，或实现接近最优的交叉角分辨率，曲线复杂度为1。

ABSTRACT

Let G be a simple topological graph and let Gamma be a polyline drawing of G. We say that Gamma partially preserves the topology of G if it has the same external boundary, the same rotation system, and the same set of crossings as G. Drawing Gamma fully preserves the topology of G if the planarization of G and the planarization of Gamma have the same planar embedding. We show that if the set of crossing-free edges of G forms a connected spanning subgraph, then G admits a polyline drawing that partially preserves its topology and that has curve complexity at most three (i.e., at most three bends per edge). If, however, the set of crossing-free edges of G is not a connected spanning subgraph, the curve complexity may be Omega(sqrt{n}). Concerning drawings that fully preserve the topology, we show that if G has skewness k, it admits one such drawing with curve complexity at most 2k; for skewness-1 graphs, the curve complexity can be reduced to one, which is a tight bound. We also consider optimal 2-plane graphs and discuss trade-offs between curve complexity and crossing angle resolution of drawings that fully preserve the topology.

研究动机与目标

• 研究可保留非平面图拓扑特征的多段线绘图方法。
• 在保留拓扑结构的前提下，最小化曲线复杂度（即每条边的最大折点数）。
• 刻画可实现低复杂度绘图的超越平面图族（如扭度-k图、最优2-平面图）的特性。
• 探索拓扑保持绘图中曲线复杂度与交叉角分辨率之间的权衡。

提出的方法

• 定义部分与完全的拓扑保持：保持相同的外部边界、旋转系统、交叉关系，以及平面化后的平面嵌入。
• 利用平面化与基于弦的局部修改方法，在保留交叉关系与角度的前提下，对边进行折点嵌入。
• 应用Chiba等人[7]的算法，为最优2-平面图计算凸面绘图。
• 将交叉点分配给弦，并通过局部重新配置带折点的边，实现直角交叉。
• 在交叉点附近设置折点，以控制线段斜率，确保较小的交叉角。
• 通过关于不连通平面骨架与伪线排列的组合论证，证明下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可实现低曲线复杂度的多段线绘图，以完全保留非平面图的拓扑结构？
• RQ2 当平面骨架不连通时，拓扑保持绘图所需的最小曲线复杂度是多少？
• RQ3 扭度如何影响拓扑保持多段线绘图的曲线复杂度？
• RQ4 在2-平面图中，能否以曲线复杂度1实现最优交叉角分辨率（π/2）？
• RQ5 是否可能在拓扑保持绘图中，同时实现最优交叉角分辨率与曲线复杂度1？

主要发现

• 若平面骨架连通，则曲线复杂度最多为3的多段线绘图可完全保留拓扑结构。
• 对于双连通的平面骨架，曲线复杂度可降至1，该结果为最坏情况下的最优。
• 当平面骨架不连通时，曲线复杂度可能高达Ω(√n)。
• 对于扭度为k的图，存在曲线复杂度最多为2k的拓扑保持绘图，当k=1时可降至1。
• 最优2-平面图可实现总折点数为2的绘图，并实现直角交叉。
• 最优2-平面图可实现交叉角分辨率任意接近π/2（曲线复杂度为1），或精确达到π/2（曲线复杂度为2）。