[论文解读] Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of $\zeta(3)$ and $\zeta(5)$

David Broadhurst|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 1998

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用 7

一句话总结

该论文证明，ζ(3) 和 ζ(5) 的第 1000 万位十六进制数字可通过多项式对数阶梯和超几何级数在 O(d log³ d) 时间和 O(log d) 空间内计算得出。论文证明 ζ(3)、ζ(5) 及其 17 个相关常数——包括 π、log 2、卡塔兰常数，以及 π 和 log 2 的幂的乘积——均属于 SC∗ 类，从而可通过多对数函数的函数恒等式和新型超几何生成函数实现超高速的数字计算。

ABSTRACT

We develop ladders that reduce $\zeta(n):=\sum_{k>0}k^{-n}$, for $n=3,5,7,9,11$, and $\beta(n):=\sum_{k\ge0}(-1)^k(2k+1)^{-n}$, for $n=2,4,6$, to convergent polylogarithms and products of powers of $\pi$ and $\log2$. Rapid computability results because the required arguments of ${ m Li}_n(z)=\sum_{k>0}z^k/k^n$ satisfy $z^8=1/16^p$, with $p=1,3,5$. We prove that $G:=\beta(2)$, $\pi^3$, $\log^32$, $\zeta(3)$, $\pi^4$, $\log^42$, $\log^52$, $\zeta(5)$, and six products of powers of $\pi$ and $\log2$ are constants whose $d$th hexadecimal digit can be computed in time~$=O(d\log^3d)$ and space~$=O(\log d)$, as was shown for $\pi$, $\log2$, $\pi^2$ and $\log^22$ by Bailey, Borwein and Plouffe. The proof of the result for $\zeta(5)$ entails detailed analysis of hypergeometric series that yield Euler sums, previously studied in quantum field theory. The other 13 results follow more easily from Kummer's functional identities. We compute digits of $\zeta(3)$ and $\zeta(5)$, starting at the ten millionth hexadecimal place. These constants result from calculations of massless Feynman diagrams in quantum chromodynamics. In a related paper, hep-th/9803091, we show that massive diagrams also entail constants whose base of super-fast computation is $b=3$.

研究动机与目标

• 确定 ζ(3)、ζ(5) 及其相关常数（如卡塔兰常数、π 和 log 2 的幂）是否属于具有超高速数字计算能力的 SC∗ 类常数。
• 将 Bailey-Borwein-Plouffé (BBP) 方法扩展至 π、log 2、π²、log²2 之外的更高 zeta 值和欧拉和。
• 开发多项式对数阶梯和超几何生成函数，将多重 zeta 值和狄利克雷 beta 值简化为 π、log 2 及其幂的快速可计算组合。
• 利用这些新表示方法计算 ζ(3) 和 ζ(5) 的第 1000 万位十六进制数字。

提出的方法

• 利用库默尔的函数恒等式和 z⁸ = 1/16ᵖ（其中 p = 1, 3, 5）的特殊 z 值，推导出多项式对数阶梯，将 ζ(n) 和 β(n) 简化为收敛的多项式对数。
• 应用 Liₙ(z) 的函数关系，将 ζ(3)、ζ(5) 及其相关常数表示为单位根和代数数处的多项式对数组合。
• 利用超几何级数生成欧拉和，并通过围道积分和 Pochhammer 符号恒等式证明其与 zeta 值的关联。
• 使用符号计算（Reduce）自动化推导 n ≤ 11 阶的函数恒等式。
• 通过高精度 PSLQ 和符号代数验证整数关系，确保所推导恒等式的完备性。
• 通过模运算和级数加速计算数字，使用 312 位精度和 0.3 MB 内存在 333 MHz 机器上运行。

实验结果

研究问题

• RQ1 ζ(3) 和 ζ(5) 是否能像 π 和 log 2 一样，通过类似 BBP 的公式在对数空间和近乎线性时间内计算？
• RQ2 πⁿ、logⁿ2、卡塔兰常数以及 n = 3, 5, 7, 9, 11 时的 ζ(n) 的组合是否属于具有快速数字提取能力的 SC∗ 类常数？
• RQ3 在 ζ(5) 求值中出现的欧拉和背后的超几何生成函数是什么？
• RQ4 多项式对数的函数恒等式是否可系统性地用于将多重 zeta 值和狄利克雷 beta 值简化为 SC∗ 可计算形式？
• RQ5 是否存在一种超几何表示，使得非欧拉和的生成级数能匹配数据中观察到的奇点和有理渐近行为？

主要发现

• ζ(3) 的第 1000 万位十六进制数字为 CDA018F4E167F435B2AB045FB045A42F86BED12EF82BE2E1C6ECD305E92C5E4B。
• ζ(5) 的第 1000 万位十六进制数字为 F7A15E1277F7B2C04106F04B05C48AC71ACECAB14D555FDA6E5E1EC299535511。
• 所有 18 个常数——包括 π、log 2、π³、log³2、ζ(3)、π⁴、log⁴2、log⁵2、ζ(5) 及其乘积——均属于 SC∗ 类，其第 d 位十六进制数字可在 O(d log³ d) 时间和 O(log d) 空间内计算。
• 推导出卡塔兰常数 G 的新公式：G = 3 S₂,₁(1,−1,1,0,−1,1,−1,0) − 2 S₂,₃(1,1,1,0,−1,−1,−1,0)，从而实现其快速数字计算。
• 论文证明，具有 Pochhammer 符号的超几何级数可生成奇点与三角函数匹配的欧拉和，确认了生成级数的结构。
• ζ(5) 的第 1000 万位数字在 333 MHz 的 DecAlpha 600 机器上耗时 19 小时，仅使用 0.3 MB 内存，证明了该方法的高效性。