[论文解读] Polylogarithms, hyperfunctions and generalized Lipschitz summation formulae

Stefano Marmi, Piergiulio Tempesta|ArXiv.org|Dec 6, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过从伯努利型阿佩尔多项式傅里叶展开导出的新多对数有理函数，将经典的利普希茨求和公式推广至负幂次。引入了δ有理函数，并构建了一维超函数，建立了将多对数、超函数与阿佩尔多项式结构联系起来的广义利普希茨公式，且与拉扎德形式群律及普遍伯努利同余式相关联。

ABSTRACT

A generalization of the classical Lipschitz summation formula is proposed. It involves new polylogarithmic rational functions constructed via the Fourier expansion of certain sequences of Bernoulli--type polynomials. Related families of one--dimensional hyperfunctions are also constructed.

研究动机与目标

• 通过新一类多对数函数，将经典利普希茨求和公式推广至负整数幂次。
• 从伯努利型阿佩尔多项式的周期版本出发，构建一维超函数。
• 建立涉及双变量多对数级数与δ有理函数的广义利普希茨求和公式。
• 将所得多对数结构与形式群理论（特别是拉扎德普遍形式群）联系起来。
• 证明所构造的阿佩尔多项式序列满足普遍克劳森–冯·斯陶特与库默同余式。

提出的方法

• 通过包含有理系数与全纯函数的生成函数，定义伯努利型阿佩尔多项式序列。
• 利用上半平面与下半平面全纯函数对（模去整函数），在层上同调中将周期超函数表示为上同调类的代表元。
• 将“δ有理函数”定义为将标准多对数扩展至黎曼球面上的亚纯双变量狄利克雷级数。
• 通过这些阿佩尔序列相关联的δ函数周期原函数的傅里叶展开，推导广义利普希茨求和公式。
• 通过形式群律的指数与对数级数，建立阿佩尔结构与拉扎德普遍形式群之间的对应关系。
• 利用普遍伯努利数的生成级数，在拉扎德环的系数环中证明普遍同余式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用阿佩尔型多项式将经典利普希茨求和公式推广至负幂次？
• RQ2 δ有理函数在将多对数函数扩展为黎曼球面上的亚纯函数中起什么作用？
• RQ3 所构造的超函数如何与层理论中通过上同调定义的超函数概念相关联？
• RQ4 阿佩尔多项式序列以何种方式导出形式群律，其与拉扎德普遍形式群有何联系？
• RQ5 广义伯努利数满足何种普遍同余式，其如何推广经典结果如克劳森–冯·斯陶特与库默同余式？

主要发现

• 阿佩尔多项式 $P_n(x)$ 的广义利普希茨求和公式由一个超函数方程给出：当 $|q|<1$ 时为 $\triangle_{-n}(q)$，当 $|q|>1$ 时为 $(-1)^{n-1}\triangle_{-n}(q^{-1})$，分别在上半平面与下半平面成立。
• δ有理函数 $\triangle_n(q)$ 在黎曼球面上是亚纯的，且将标准多对数扩展为具有算术与解析结构的双变量狄利克雷级数。
• 阿佩尔多项式序列 $\big\bracevert P_n(x)\big\bracevert$ 与 $\big\bracevert Q_n(x)\big\bracevert$ 在系数环 $\bbZ[c_1,c_2,\dots]$ 中满足普遍克劳森–冯·斯陶特与库默同余式。
• 所构造级数关联的形式群律同构于拉扎德普遍形式群，其指数与对数级数由阿佩尔多项式的生成函数导出。
• 广义伯努利数 $\big\bracevert \tilde{B}_n \big\bracevert$ 满足普遍冯·斯陶特同余式：当 $n$ 为偶数时，$\tilde{B}_n \equiv -\sum_{p-1\mid n} \frac{c_{p-1}^{n/(p-1)}}{p} \mod \bbZ[c_1,c_2,\dots]$；当 $n>1$ 为奇数时，有类似表达式。
• 普遍库默同余式成立：在条件 $n \not\equiv 0,1 \pmod{p-1}$ 下，有 $\frac{\tilde{B}_{n+p-1}}{n+p-1} \equiv \frac{\tilde{B}_n}{n} c_{p-1} \mod p\bbZ_p[c_1,c_2,\dots]$。