[论文解读] Polylogarithms, regulators and Arakelov motivic complexes

A. B. Goncharov|ArXiv.org|Jul 3, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用 5

一句话总结

该论文构建了一个从Bloch的高阶Chow复形到正规射影复代数簇的Deligne复形的显式Regulator映射，将其锥（shifted by one）定义为Arakelov动机复形。它建立了Grassmannian多对数函数与对称空间 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$ 之间的联系，通过双对数函数恢复了Lobachevsky对双曲3-单形体积的公式，并利用这些多对数函数显式构造了 $K_{2n-1}(\mathbb{C})$ 上的Borel Regulator，证明了Chow双对数函数的加强型互反律。

ABSTRACT

We construct an explicit regulator map from the weigh n Bloch Higher Chow group complexto the weight n Deligne complex of a regular complex projective algebraic variety X. We define the Arakelovweight n motivic complex as the cone of this map shifted by one. Its last cohomology group is (a version of) the Arakelov Chow group defined by H. Gillet. and C.Soule. We relate the Grassmannian n-logarithms (defined as in [G5]) to geometry of the symmetric space for GL_n(C). For n=2 we recover Lobachevsky's formula for the volume of an ideal geodesic tetrahedron via the dilogarithm. Using the relationship with symmetric spaces we construct the Borel regulator on K_{2n-1}(C) via the Grassmannian n-logarithms. We study the Chow dilogarithm and prove a reciprocity law which strengthens Suslin's reciprocity law for Milnor's K_3 on curves.

研究动机与目标

• 为正规射影复代数簇定义从权重 $n$ 的高阶Chow复形到权重 $n$ 的Deligne复形的显式Regulator映射。
• 将Arakelov动机复形定义为该Regulator映射的锥（移位-1），并将其最后一项上同调识别为Arakelov Chow群。
• 将Grassmannian $n$-对数函数与对称空间 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$ 的几何联系起来，并利用此关系构造 $K_{2n-1}(\mathbb{C})$ 上的Borel Regulator。
• 研究Chow双对数函数，并为曲线上 $K^M_3$ 证明一个加强型互反律。

提出的方法

• 从Bloch的高阶Chow复形 $\mathcal{Z}^\bullet(X;n)$ 构造到权重 $n$ 的Deligne复形 $\mathcal{C}^\bullet_\mathcal{D}(X(\mathbb{C});n)$ 的复形同态。
• 将权重 $n$ 的Arakelov动机复形定义为该映射的锥，移位 $-1$，从而得到一个导出范畴中的对象。
• 通过微分形式的积分，将Grassmannian $n$-对数函数与对称空间 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$ 上的不变体积形式联系起来。
• 利用分布微积分计算 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$ 中理想测地线单形的体积，将其表达为双对数函数。
• 通过在单形 $\Delta_{2n-1}$ 中的余维数 $n$ 的闭链上取值的Chow多对数函数，构造 $GL(\mathbb{C})$ 上的 $(2n-1)$-上循环。
• 通过Chow多对数函数的函数方程和向量非一般构型的几何性质，确立上循环的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 动机上同调上的Regulator映射是否能在复形层面上显式构造？
• RQ2 在 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$ 中的理想测地线单形的体积是否可用Grassmannian多对数函数表达？
• RQ3 Chow双对数函数是否满足一个加强型互反律，从而精化Suslin对 $K^M_3$ 的互反律？
• RQ4 能否通过Grassmannian $n$-对数函数构造 $K_{2n-1}(\mathbb{C})$ 上的Borel Regulator？
• RQ5 由Chow多对数函数导出的 $GL(\mathbb{C})$ 上的 $(2n-1)$-上循环的上同调类是否非平凡且与Borel类成比例？

主要发现

• 在 $SL_3(\mathbb{C})/SU(3)$ 中，理想测地线单形的体积与 $-6\pi c_3 \cdot \mathcal{L}_2(a)$ 成比例，其中 $c_3 = -1/(6\pi)$，从而恢复了Lobachevsky公式。
• Grassmannian $n$-对数函数的构造为 $\mathbb{C}P^{n-1}$ 中 $2n$ 个超平面的构型提供了一个函数，其收敛性在 $n > 2$ 时尚未证明，但预期成立。
• Chow双对数函数满足一个加强型互反律，该律强化了曲线上 $K^M_3$ 的Suslin互反律。
• 通过Grassmannian $n$-对数函数显式构造了 $K_{2n-1}(\mathbb{C})$ 上的Borel Regulator，将代数 $K$-理论与对称空间几何联系起来。
• 由Chow多对数函数导出的 $GL(\mathbb{C})$ 上的 $(2n-1)$-上循环是可测的，并通过函数方程满足上循环条件。
• 所构造上循环的上同调类被猜想为非平凡且与Borel类成比例，从而为Borel Regulator提供了新的实现方式。