[论文解读] Polynomial bounds in the Ergodic Theorem for positive recurrent one-dimensional diffusions and integrability of hitting times

Dasha Loukianova, Oleg Loukianov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 40被引用 6

一句话总结

本文通过首达时间矩条件与再生方法，为一维正返扩散过程的遍历定理建立了非渐近多项式偏差界。推导出如下形式的界：$\mathbb{P}_{\nu}\left(\left|\frac{1}{t}\int_0^t f(X_s)ds - \mu(f)\right| > \varepsilon\right) \leq K(p) \varepsilon^{-p} t^{-\alpha/2} A(f)^p$，其中当 $p \geq 2$ 时 $\alpha = p$，当 $1 < p < 2$ 时 $\alpha = p-1$，前提是首达时间的 $p$-阶矩可积。

ABSTRACT

Let $X$ be a one dimensional positive recurrent diffusion with initial distribution $ν$ and invariant probability $μ$. Suppose that for some $p&gt; 1$, $\exists a\in\R$ such that $\forall x\in\R, \E_x T_a^p

研究动机与目标

• 推导一维正返扩散过程中加性泛函经验均值的非渐近偏差界。
• 建立遍历定理收敛速率呈多项式而非指数的条件。
• 将首达时间矩的可积性与遍历定理中收敛速率的关联性联系起来。
• 为漂移与扩散系数提供多项式矩界所需首达时间的充分条件。

提出的方法

• 利用再生方法，依赖再生时间的可积性来推导偏差界。
• 应用广义Kac公式计算不同函数 $f$ 的矩 $\mathbb{E}_x[f(T_a)]$，从而控制首达时间矩。
• 推导出如下非渐近界：$\mathbb{P}_{\nu}\left(\left|\frac{1}{t}\int_0^t f(X_s)ds - \mu(f)\right| > \varepsilon\right) \leq K(p) \varepsilon^{-p} t^{-\alpha/2} A(f)^p$，适用于有界或紧支集函数 $f$，其中 $\alpha = p$ 若 $p \geq 2$，$\alpha = p-1$ 若 $1 < p < 2$。
• 基于漂移 $\beta(x)$ 与扩散 $\sigma(x)$ 的增长速率，建立 $\mathbb{E}_x T_a^p$ 的多项式上下界。
• 对 $\beta(x)$ 与 $\sigma(x)$ 施加条件，如当 $|x|$ 较大时 $|\beta(x)| \sim |x|^r$ 且 $\sigma^2(x) \sim |x|^{2\gamma}$，以推导矩界。
• 利用 $\mathbb{E}_\nu T_a^{p/2} < \infty$ 与 $\mathbb{E}_x T_a^p < \infty$ 对所有 $x$ 成立的事实，确保在适当初始分布下偏差界的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在漂移与扩散系数满足何种条件下，有界或紧支集函数的经验均值在 $t$ 上呈多项式收敛？
• RQ2 如何对一维扩散过程的遍历定理收敛速率进行非渐近量化？
• RQ3 首达时间矩可积性与加性泛函多项式偏差界之间的精确关系为何？
• RQ4 能否从系数的增长行为推导出 $\mathbb{E}_x T_a^p$ 的多项式界，其对收敛速率有何影响？
• RQ5 对 $\beta(x)$ 与 $\sigma(x)$ 的何种充分条件可保证对 $p > 1$ 有 $\mathbb{E}_x T_a^p < \infty$？

主要发现

• 当 $p \geq 2$ 时，偏差界以 $t^{-p/2}$ 速率衰减；当 $1 < p < 2$ 时，以 $t^{-(p-1)/2}$ 速率衰减，反映出收敛速率对首达时间矩可积阶数的依赖性。
• 在所述矩条件下，界 $\mathbb{P}_{\nu}\left(\left|\frac{1}{t}\int_0^t f(X_s)ds - \mu(f)\right| > \varepsilon\right) \leq K(p) \varepsilon^{-p} t^{-\alpha/2} A(f)^p$ 成立，其中对有界函数 $f$ 有 $A(f) = \|f\|_\infty$，对有界且紧支集函数 $f$ 有 $A(f) = \mu(|f|)$。
• 当 $|x|$ 较大时 $\beta(x) \sim |x|^r$ 且 $\sigma^2(x) \sim |x|^{2\gamma}$，若 $2r + 2\gamma > 1$，则首达时间的 $p$-阶矩满足 $\mathbb{E}_x T_a^p \sim x^{2p(1-\gamma)}$，从而实现对矩增长的多项式控制。
• 当 $2r + 2\gamma > 1$ 时，若 $\int_{\mathbb{R}} |x|^{p(1-\gamma)} d\nu(x) < \infty$，则 $\mathbb{E}_\nu T_b^{p/2} < \infty$ 成立，将初始分布与偏差界有效性的条件联系起来。
• 当 $2r + 4\gamma > 3$ 时，推论5.10保证对紧支集函数 $f$，在 $\int_{\mathbb{R}} |x|^{p(1-\gamma)} d\nu(x) < \infty$ 条件下，偏差界具有 $t^{-p/2}$ 的多项式速率，且归一化因子为 $\mu(|f|)$。
• 广义Kac公式（定理4.1）可精确计算不同函数 $f$ 的 $\mathbb{E}_x f(T_a)$，这对推导首达时间矩界至关重要。