[论文解读] Polynomial Chaos Expansion for general multivariate distributions with correlated variables

Maria Navarro Jimenez, Jeroen Witteveen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 36被引用 41

一句话总结

该论文提出了一种广义多项式混沌展开（PCE）方法，可为具有相关随机输入的一般多元分布构建正交多项式基，从而在不依赖输入独立性的前提下实现精确的不确定性量化。该方法保持了与标准PCE相同的收敛速率和计算效率，且均值、方差和Sobol’指标的计算无需额外计算成本，已在常微分方程（ODE）和酶促反应模型中得到验证，涵盖不同相关强度的情形。

ABSTRACT

Recently, the use of Polynomial Chaos Expansion (PCE) has been increasing to study the uncertainty in mathematical models for a wide range of applications and several extensions of the original PCE technique have been developed to deal with some of its limitations. But as of to date PCE methods still have the restriction that the random variables have to be statistically independent. This paper presents a method to construct a basis of the probability space of orthogonal polynomials for general multivariate distributions with correlations between the random input variables. We show that, as for the current PCE methods, the statistics like mean, variance and Sobol' indices can be obtained at no significant extra postprocessing costs. We study the behavior of the proposed method for a range of correlation coefficients for an ODE with model parameters that follow a bivariate normal distribution. In all cases the convergence rate of the proposed method is analogous to that for the independent case. Finally, we show, for a canonical enzymatic reaction, how to propagate experimental errors through the process of fitting parameters to a probabilistic distribution of the quantities of interest, and we demonstrate the significant difference in the results assuming independence or full correlation compared to taking into account the true correlation.

研究动机与目标

• 为解决传统PCE方法要求输入统计独立的局限性，提出适用于具有任意相关性的通用多元分布的PCE方法。
• 开发一种在相关随机变量的概率空间中构建正交多项式基的方法，无需对输入进行变换或解耦。
• 确保标准统计量——均值、方差和Sobol’指标——的计算无需额外计算成本，仅依赖于标准PCE框架。
• 通过合成模型和真实世界模型，验证该方法在不同相关强度下的鲁棒性和收敛行为。
• 展示相关性对敏感性分析和模型解释的实际影响，特别是在存在实验误差传播的生物化学系统中。

提出的方法

• 该方法利用相关输入的联合概率密度函数定义的内积，在平方可积随机变量的希尔伯特空间中构建正交多项式基。
• 通过在单项式基上应用Gram-Schmidt正交化，生成显式匹配于联合分布（包括相关性）的正交多项式。
• 通过精确积分或蒙特卡洛采样计算内积，将感兴趣的量（QoI）的展开投影到该基上。
• 均值、方差和Sobol’指标可直接从展开系数中导出，无需额外后处理。
• 该方法通过具有不同相关系数的二元正态ODE模型和存在实验误差传播的典型酶促反应系统进行了验证。
• 未来将开发高斯求积法以加速均值和系数的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有输入变量间任意相关性的多元分布构建广义多项式混沌展开？
• RQ2 当输入相关时，所提方法是否保持与标准PCE相同的收敛速率？
• RQ3 与假设独立性相比，输入参数之间的相关性如何影响敏感性分析结果，特别是Sobol’指标？
• RQ4 在存在实验误差的真实生化反应模型中，真实相关性对不确定性传播有何影响？
• RQ5 该方法能否在不进行输入变换的前提下，直接应用于具有已知相关结构的实验数据？

主要发现

• 所提出的PCE方法在输入完全相关时，仍能实现与未相关输入下标准PCE相同的收敛速率，表明其在各种相关强度下均具有鲁棒性。
• 在二元正态ODE模型中，该方法准确捕捉了所有测试相关系数（从不相关到完全相关）下的解统计特性。
• 在酶促反应模型中，若假设独立性，会得出错误结论（如认为$k_3$可忽略），而考虑真实相关性后揭示了其对底物浓度方差的显著影响。
• 总Sobol’指标显示，在相关性存在时，$k_1$和$k_2$等变量表现出非平凡的抵消效应，导致若简单解读其个体贡献会得出误导性结论。
• 该方法能够准确传播实验误差通过参数拟合过程，从而对状态变量提供概率描述，支持最优实验设计。
• 高阶矩（用于Sobol’指标）随多项式阶数和相关强度迅速增长，当相关系数$\varrho = 0.9$时，75阶矩可达$10^{21}$，凸显了高维情形下的数值挑战。